Cách khai thác một số bài toán từ bài tập sách giáo khoa

Bài tập SGK là hệ thống bài tập cơ bản, nhằm cũng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết. Bài tập SGK cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng, xây dựng được hệ thống các bài toán mới. Chia sẻ với các bạn một số bài toán được xây dựng, mở rộng từ bài tập sách giáo khoa.

Bài toán 1: ( Sách đại số và giải tích 11). Xác định số hạng tổng quát của dãy Như vậy, GV cần thiết phải khai thác tiềm năng bài tập SGK. Xét ví dụ sau:(u_n) xác định bởi u₁ = - 1; u_n+1 =3u_n

Giải: ( một bài toán có thể có nhiều cách giải)

Cách 1: Theo giả thiết thì đây là một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = - 1 và công bội q = 3. Do đó số hạng tổng quát của dãy u_n = u₁.q^n-1= (-1).(3)^n-1.

Cách 2: Ta có u_n+1 =3u_n

u_n =3u_n-1

_………..                  từ đó ta dự đoán công thức tổng quát u_n = (-1).(3)^n-1.

u₃ =3u₂

u₂ =3u₁

Và ta chứng minh u_n = (-1).(3)^n-1 bằng phương pháp quy nạp.

Với bài toán trên, nếu thay đổi giả thiết, ta sẽ thu được bài toán mới.

Bài toán 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy (u_n) xác định bởi u₁ =  1; u_n+1 =u_n+ 2.

Để giải bài toán này, ta tìm cách đưa về dạng bài toán đã gặp ở trên. Từ giả thiết ta viết bài toán dưới dạng

. Khi đó ta đặt v_n= u_n- 2 v₁= -2.  Bài toán trở thành tìm số hạng tổng quát của dãy (v_n) biết

 Như vậy ta sẽ làm tương tự như bài trên.

Khái quát lên ta sẽ được bài toán mới.

Bài toán 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy (u_n) xác định bởi u₁ =  a; u_n+1 =u_n + , ≠ 1.

Để có thể đặt để đưa về 1 dãy v_n mới có dạng như bài tập 1 ta làm như sau:

u_n+1 +x =(u_n + x) = u_n + x u_n+1 =u_n + x - xx – x =x =

Như vậy ta đặt v_n = u_n + , khi đó v₁= a +

Bài toán 2: Giải hệ phương trình(I)

Đây là hệ đối xứng loại 1, tuân thủ phương phương pháp giải hệ đối xứng loại 1, ta đặt ẩn phụ S = x + y và P = xy sẽ tìm được nghiệm của hệ là x =y  = 1

-  Bây giờ dùng các thủ thuật để ta có các cách giải khác và phương trình khác từ bài toán gốc.

- Xem xét các phương trình của hệ (I), ta dẫn đến nhận xét sau, vế trái của phương trình có thể đưa về dạng (x + y)²+ xy = 5 từ đó trừ vế theo vế của từng phương trình ta tìm được x+ y và xy, từ đó suy ra x, y.

- Bây giờ nhờ kỉ thuật phân nhỏ và phản đối xứng thay x bởi (-x) hoặc y bởi

(-y) ta sẽ đựơc một hệ không đối xứng, chẳng hạn(II)

( thực chất là hệ đối xứng đối với (-x) và y).

- Ta tiếp tục thay x bởi kx ta sẽ có hệ (III) 

- Bây giờ tiếp tục thay x bởi  -, thay y bởi y² ta sẽ có hệ sau

(IV)  

- Có thể thay x, y bởi các hàm số lượng giác, chẳng hạn:

(V) 

          Nếu ta tiếp tục khai thác theo hướng trên thì sẽ thu được một hệ thống các bài toán theo dạng mà được bắt đầu từ một bài toán đơn giản ở SGK.

Bài toán 3: Cho x²+ y² + z² = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

S = xy + yz + xz.

Khai thác các khía cạnh khác nhau của bài toán này ta sẽ thu được các bài toán mới.

 Khai thác từ lời giải: Bài toán này có rất nhiều cách giải, ta xét một trong các cách đó.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x²+ y² ≥2| xy| ≥ 2xy

   x²+ z² ≥2| xz| ≥ 2xz

   z²+ y² ≥2| zy| ≥ 2zy

Suy ra:  2S ≤ 2(| xy| +| xz| +| zy|) ≤ 2(x²+ y² + z² ) = 2. Vậy S nhỏ nhất bằng 1 khi x,y,z cùng dấu và 

hay x= y =z=  hoặc x= y =z= - 

Trong lời giải trên ta nhận thấy vai trò của x,y,z là bình đẳng, với cách nhìn đó, nếu ta thay đổi giả thiết sao cho x,y,z vẫn bình đẳng thì bài toán mới sẽ  giải được theo cách trên.

Bài toán 3.1: Cho x⁴ + y⁴  +  z⁴ =48. Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz.

Bài toán 3.2: Cho x⁴ + y⁴  + z⁴ = 48. Tìm giá trị lớn nhất của

a)S = (xy)² + (yz)² + (xz)²             

b) S =

Bài toán tổng quát: Cho x²ⁿ + y²ⁿ  + z²ⁿ = M.  với n là số tự nhiên, M là số không âm cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của

a)S = (xy)ⁿ + (yz)ⁿ + (xz)ⁿ 

b) S =   

c)S = xy + yz + xz.

Các bài toán trên đều có cách giải dựa vào giả thiết bình đẳng của x, y,z và dự đoán đẳng thức xẩy ra khi x = y = z, từ đó thêm bớt sao cho sử dụng bất đẳng thức cho kết quả hợp lí.

Chẳng hạn đối với bài 3.1, ta áp dụng bất đẳng thức như sau:

x⁴ + y⁴  +16 +16 ≥4.4|xy|

z⁴ + y⁴  +16 +16 ≥4.4|zy|     .Suy ra 16S ≤ 2(x⁴ + z⁴ + y⁴  )+96  =192 suy ra S ≤ 12

x⁴ + z⁴  +16 +16 ≥4.4|xz|

Vậy S_max = 12 khi x,y,z cùng dấu và   hay x = y = z = 2

hoặc x= y =z = -2

Nếu chúng ta không chú ý đến tính bình đẳng của x, y, z thì bằng cách đánh giá bất đẳng thức Côsi sẽ dễ dẫn đến sai lầm.

Ta biết rằng, bất đẳng thức Côsi chỉ áp dụng cho các số thực không âm, tức là giả thiết ở các bài toán trên x, y, z đều có bậc chẵn. Bây giờ nếu giữ nguyên kết luận bài toán, để áp dụng được phương pháp trên khi bậc của x, y, z là số tự nhiên bất kì thì ta cần thay đổi giả thiết như thế nào?

 Xét bài toán sau:

Bài toán 4: Cho    Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz.

Khai thức giả thiết bình đẳng của x,y,z và bằng sử dụng bất đẳng thức Côsi đánh giá thu được kết quả S_max = 12 khi x= y = z = 2

 Ta có thể khái quát lên được bài toán tổng quát như sau:

Cho    Tìm giá trị lớn nhất của

a)S = xy + yz + xz

b) S =   với n, m là số tự nhiên khác 0, M là số thực không âm cho trước.

Lời giải: Tương tự cách giải trên. Do vai trò x,y,z bình đẳng nên dự đoán đẳng thức xẩy ra khi

và áp dụng Côsi ta có

Tương tự:

và

Suy ra .P ≤  2(xⁿ+yⁿ+zⁿ) + ( n- 2) .M =n.M

Suy ra P ≤

Vậy P_max = . khi và chỉ khi x= y = z =

Ta cho n, M những giá trị cụ thể sẽ có những bài toán mới.

Câu b cũng giải hoàn toàn tương tự.

Các bài toán trên đều có điểm chung là vai trò x, y, z bình đẳng. Câu hỏi đặt ra là nếu giả thiết x, y, z không bình đẳng nữa thì liệu bài toán có đúng không, và có áp dụng được bất đẳng thức Côsi nữa không?

Ta xét bài toán sau:

Bài toán 5: Cho 

 với k là số tự nhiên khác 0, M là số thực không âm cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz.

Đối với bài toán này, ta nhận thấy x,y có vai trò bình đẳng, ta giải như sau:

x² = mx² + (1 – m)x²  , 0 ≤ m ≤ 1; y² = my² + (1 – m)y² , 0 ≤ m ≤ 1;

đồng thời chia đều kz² = cho cả x và y.Áp dụng Côsi như sau:

 để làm xuất hiện biểu thức S = xy + yz + xz ta cần chọn m sao cho 2(1-m) =

m = [(4+ k) -] vì 0 ≤ m ≤ 1; Khi đó 2( 1-m)S ≤ M  S ≤  

Vậy giá trị lớn nhất của S là . Dấu bằng xảy ra khi: 

Nếu ta thay m, k,M bằng các giá trị cụ thể sẽ có các bài toán mới.

Với giả thiết x,y bình đẳng, bài toán có thể được ra dưới dạng tổng quát sau:

Bài toán 6: Cho 

  với n, k là số tự nhiên khác 0, M là số thực không âm cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz.

Nếu ta giữ nguyên giả thiết, thay đổi kết luận sẽ thu được bài toán mới. Xét bài toán sau:

Bài toán 7: : Cho    M là số thực không âm cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của

a) P = x + y + z  

b) S = x + y + az 

c) Q = x + a(y +z)

Lật ngược bài toán cũng cho ta những bài toán mới. Chẳng hạn:

Bài toán 8 Cho x, y, z là các số thực không âm và xy + xz + yz = 1. Tìm GTNN của S_n = xⁿ + yⁿ + zⁿ

Lời giải: Dự đoán dấu bằng xẩy ra khi x = y = z = xⁿ = yⁿ = zⁿ =()ⁿ . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n số xⁿ , yⁿ , ()^{n , …,}()ⁿ  ta có:

xⁿ + yⁿ + ()ⁿ + …+ ()ⁿ  ≥n  = n. .xy;

Tương tự:  zⁿ + yⁿ + ()ⁿ + …+ ()ⁿ  ≥  = n .zy;

xⁿ + zⁿ + ()ⁿ + …+ ()ⁿ  ≥  = n .xz;

Suy ra 2S_n ≥ 6()ⁿ   S_n ≥ 3( )ⁿ = ()^{n -2}.

Vậy giá trị nhỏ nhất của S_n= ()^{n -2} khi và chỉ khi x = y = z = . Nếu ta thay giá tri n cụ thể sẽ thu được các bài toán mới khác nhau.

Tổng quát hóa bài toán ta được bài toán mới.

Bài toán 9: Cho x, y, z là các số thực không âm và xy + xz + yz = M, M là số thực không âm cho trước, k, m là số tự nhiên khác 0. Tìm GTNN của

a)S = x²+ y² +k z²      b) P = n(x²+ y² ) + mz²

          Hệ thống các bài tập sách giáo khoa rất phong phú, chúng ta có thể khai thác giả thiết, kết luận, khai thác lời giải, lật ngược vấn đề thì sẽ cho ra các bài toán mới, mà có thể nó xuất hiện trong các đề thi.

Đào Thúy Hằng 

Lớp CH16- Lý luận và phương pháp dạy học Toán - Đại Học Vinh