Đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội môn Toán vòng 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 2012
Môn thi: TOÁN
(Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (1,5đ )
Giải phương trình :
x2+2x+2x2+2x−1−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+2x2+4x−4=0
Câu 2 (2đ)
a, Cho các số a,b,c đôi một phân biệt và thỏa mãn a2(b+c)=b2(a+c)=2012
Tính giá trị của biểu thức : M=c2(a+b)
b, Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3. CMR trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương.
Câu 3 (2đ)
Cho nó số thực x1,x2,….,xn với n≥3. Ký hiệu maxx1,x2,…,xn là số lớn nhất trong các số x1,x2,…,xn.
CMR:
Maxx1,x2,…,xn≥x1+x2+…+xnn+∣∣x1−x2∣∣+∣∣x2−x3∣∣+….+∣∣xn−1−xn∣∣+∣∣xn−x1∣∣2n

Câu 4 ( 1,5 đ)
Trong một lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột (các hàng được đánh số từ 1 đến 4, các cột được đánh số từ 1 đến 9 ). Sĩ số học sinh của lớp là 35. Sau một học kỳ, cô giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ m, cột thứ n và sau khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng am, cột thứ an, ta gắn cho bạn đó số nguyên (am+an)–(m+n). Chứng minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11.
Câu 5 (3đ):
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O), M khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự tại X ,Z ; MB cắt CA, CD tại Y,T; CX cắt DY tại K.
a, CMR : MXTˆ=TXCˆ,MYZˆ=ZYDˆvàCKDˆ=135∘.
b, CMR :KXMX+KYMY+ZTCD=1.
C, Gọi I là giao điểm của MK và CD. CMR : XT, YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT.

(theo diendantoanhoc.net)