Các bài thơ giúp học nhanh công thức lượng giác

Tải tài liệu tại đây:  Download file PDF

Toán học dưới cái nhìn triết học như thế nào?

“Vật chất dùng để chỉ thực tại khách quan được đem lại cho con người trong cảm giác, được cảm giác của chúng ta chép lại, chụp lại, phải ánh và tồn tại không lệ thuộc vào cảm giác”. Các đối tượng toán học đều có đặc điểm như vậy. Thế giới toán học như thể một thế giới vật chất thu nhỏ mà trong có các đối tượng toán học như thể vật chất, còn các tính chất trong toán học như thể các hiện tượng. Nếu triết học nghiên cứu về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiên cứu về những đối tượng và các tín

1) Toán học là một thế giới vật chất

Theo chủ nghĩa duy vật, vật chất có trước, ý thức có sau, vật chất quyết định ý thức. Điều này cũng giống như trongtoán học, tất cả các đối tượng toán học đều có trước và tồn tại khách quan, không phụ thuộc vào cảm giác con người. Tất cả các đối tượng toán học đều có trước những người khám phá ra nó. Chẳng hạn, hàm số-đồ thị, tập số, phương trình, hình lập phương…. tất cả đã vốn đều có trong thực tiễn. Thật vậy, ta có:

+ Hàm số – đồ thị: tất cả mối liên hệ trong thực tiễn có liên quan tương ứng một một đều là mối liên hệ của “hàm” (nói theo nghĩa hẹp là “hàm số”). Ví dụ: mỗi căn nhà thì có một địa chỉ, mỗi người có một số chứng minh nhân dân, mỗi đường truyền internet có một địa chỉ IP… Sự biến đổi tăng giảm của giá vàng, sự thay đổi về nhiệt độ, thời tiết, … đó là đồ thị.

+ Tập số: một lớp học gồm 40 học sinh, một hộp bút có 12 cậy bút, … những con số 40, 12 đó nếu con người không khám phá thì tự bản thân nó vẫn là 40 và 12, chỉ có một điều nó chưa được gán cái tên là “40-12”… Như vậy, trước khi con người tìm ra số, thì bản thân nó vẫn tồn tại một cách khách quan… Con người khám phá, nói chính xác hơn là khám phá lại.

+ Phương trình: nó vẫn có sẵn trong thực tiễn, đó là tữ những tình huống, những bài toán cần tìm một đối tượng nào đó ….

+ Hình lập phương: trong thực tiễn hình lập phương, cho dù con người có khám phá ra nó hay không thì nó vẫn tồn tại và mãi mãi là hình lập phương.

Con người đã từ nghiên cứu thực tiễn, khái quát hóa nên các đối tượng ấy…Chỉ khác, là vốn ban đầu, các đối tượng đó chưa được gọi tên là “hàm số – đồ thị”, “tập số”, “phương trình”, “hình lập phương”… Tất cả những đối tượng đó đúng như triết học đã nói “tồn tại khách quan, độc lập với ý thức của con người, không ai sáng tạo ra và không ai có thể tiêu diệt được”.

Trong triết học, phương pháp luận biện chứng là xem xét sự vật, hiện tượng trong sự ràng buộc lẫn nhau giữa chúng, trong sự vận động và phát triển không ngừng của chúng. Tất cả các chứng minh toán học đều là phương pháp luận biện chứng. Khi chứng minh, đương nhiên các sự vật (ở đây là các đối tượng toán học) được nhàtoán học dựa trên sự ràng buộc giữa chúng, và trong sự vận động không ngừng. Ví dụ: khi chứng minh một bất đẳng thức thì các số a,b, c trong chứng minh đó hoặc là cùng thuộc R, hoặc là cùng số dương … sự ràng buộc đó cũng có thể là những điều kiện kèm theo trong bất đẳng thức. Liên quan đến việc chứng minh tính chất nghiệm phương trình bậc ba là sự vận động (phát triển) cho một tập hợp số mới đó là tập số phức.

Tất cả các đối tượng trong toán học đều có mối quan hệ biện chứng. Ví dụ:

+ Phép toán “1+1=2”: trong phép cộng nói trên thì 3 số 1,1,2 có quan hệ biện chứng với nhau. Nói rộng hơn tất cả các công thức trong toán học đều thể hiện mối quan hệ biện chứng.

+ “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”: mối quan hệ biện chứng giữa 2 góc đối đỉnh. Tất cả các định lý, tính chất đều thể hiện mối quan hệ biện chứng trong đó.

+ Biến số và hàm số

+ Những mệnh đề P=> Q, P<=> Q

Trong triết học “thế giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánh nó là cái có sau. Thế giới vật chất luôn vận động và phát triển theo những quy luật khách quan.”. Đúng như vậy, thế giới toán học (bao gồm tất cả đối tượng và tính chất các đối tượng) là cái có trước còn tất cả các chứng minh toán học là cái có sau. Con người có khả nằng nhận thức được các quy luật của các đối tượng đó. Sự nhận thức này là từ phương pháp luận biện chứng đã nói ở trên. Như vậy, toán học và phương pháp luận biện chứng cũng không thể tách rời nhau, mà chúng phải gắn bó chặt chẽ với nhau.

2) Thế giới vật chất tồn tại khách quan

“Ý thức con người của con người (thông qua hoạt động) tuy có ảnh hưởng đến sự tồn tại và phát triển của giới tự nhiên, song sự tồn tại và phát triển của giới tự nhiên vẫn tuân theo những quy luật riêng của chúng, con người không thể quyết định hoặc thay đổi những quy luật đó theo ý muốn chủ quan của mình”. Trong toán học, từ những hoạt động toán học (khám phá các đối tượng, chứng minh các tính chất toán học) đã làm cho “thế giới toán học” phát triển ngày càng nâng cao, nhưng toán học vẫn có sự phát triển theo quy luật chung khách quan không phụ thuộc vào con người, con người không thể thay đổi được các quy luật đó. Nếu như “2 đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau” thì mãi mãi là như vậy. Đó là một chân lý, dù muốn dù không, dù có khám phá ra hay chưa khám phá ra con người cũng không thể thay đổi được. Ngay cả việc Lobasepxki thay đổi các tiền đề của hình học Ơclit để tạo ra hình học phi Ơclit thì sự hình thành hình học mới cũng rất tự nhiên theo quy luật khách quan. Xét trên hệ tiền đề mới thì những quy luật mới trong hình học phi Ơclit ví dụ như “tổng 3 góc trong tam giác không bằng 1800” cũng là một quy luật tự thân có sẵn. Ở đây ta không được cho rằng hình học phi Ơclit phủ nhận hình học Ơclit bởi vì 2 hình học là xây dựng trên những tiền đề khác nhau. Tất cả quy luật đó không do một lực lượng thần bí nào tạo ra, nó là những quy luật tự nhiên.

“Con người không thể tạo ra thế giới tự nhiên, nhưng có thể nhận thức được thế giới tự nhiên và cải tạo được thế giới tự nhiên”. Tất cả các đối tượng toán học và tính chất bất biến trong toán học đều có quy luật riêng của nó. Tuy nhiên con người có khả năng nhận thức được, tác động vào nó và khám phá ra nó sớm hơn để nó trở lại phục vụ cho con người. Vẫn có thể trong quá trình phát triển của toán học, con người nhận thức sai nhưng từ những nhận thức sai đó đôi khi lại mở đường cho toán học phát triển. Những nhận thức sai đó sẽ thúc đẩy con người tìm ra chân lý. Việc nhận thức về toán học cũng đã làm cho con người hiểu rõ hơn về thế giới vật chất, nâng cao thế giới quan và phương pháp luận biện chứng của con người.

3) Sự vận động và phát triển của thế giới vật chất

Thế giới vật chất luôn luôn vận động và phát triển. Sự vận động và phát triển đó có thể là sự vận động trong nội tại kiến thức toán học. Ví dụ như:

+ Phép tịnh tiến đồ thị, góc lượng giác, phép biến hình trong hình học, quỹ tích và tập hợp điểm, họ đường cong chứa tham số, giới hạn hàm số, sự liên tục của hàm số, góc lượng giác…

+ Hiểu rộng hơn, sự vận động còn thể hiện ở phương trình và bất phương trình chứa tham số, khi tham số thay đổi phương trình và bất phương trình thay đổi… Và ta cần chú ý khi xem xét các phương trình và bất phương trình phải xem xét trong trạng thái vận động không cứng nhắc để tránh sai lầm. Ví dụ: nếu phương trình tham số m thì phảibiện luận rõ các trường hợp a=0, a≠0

+ Các bất đẳng thức có điều kiện cũng thể hiện sự vận động. Nếu không để ý các điều kiện thì cũng sẽ dẫn đến sai lầm trong việc chứng minh bất đẳng thức.

+ Số tự nhiên => số nguyên => số hữu tỉ => số thực => số phức

+ Số => phép cộng => phép nhân => lũy thừa => logarit

Sự vận động phát triển đó còn là sự vận động và phát triển của các kiến thức toán học nói chung. Tất cả các kiến thức toán học phát triển hàng ngày hay ngày thậm chí hàng giờ. Ngược dòng thời gian, ban đầu con người ta chỉ biết giải phương trình bậc nhất, nhưng sau đó con người đã biết giải phương trình bậc hai, bậc ba,bậc bốn và thậm chí còn chứng minh được phương trình bậc năm không có phương pháp giải tổng quát. Không chỉ lý thuyết toán phát triển, mà công cụ giải toán cũng phát triển. Thông qua các ví dụ sau đây:

+ Nếu như hình học ban đầu chỉ giải theo phương pháp tổng hợp thì sau đó đã có những công cụ mới giải toán mạnh hơn, phù hợp hơn như phương pháp vectơ, phương pháp giải tích…

+ Việc vẽ đồ thị, từ việc dùng công cụ đại số (thay điểm) để vẽ đồ thị cho đến công cụ giải tích (dùng bảng biến thiên).

+ Với các bài toán đố, chỉ với những phép toán thông thường thì việc giải một số bài toán rõ ràng bất tiện và không nhanh chóng hơn bằng phương pháp dùng phương trình để giải. Ví dụ: bài toán “gà và chó”…

+ Việc xét dấu từ nhị thức => tam thức

Tất cả điều đó cho thấy cái mới ra đời thay thế cái cũ, cái tiến bộ ra đời thay thế cái lạc hậu. Nhưng sự thay thế đó không phải là phủ nhận hoàn toàn, mà là trên cơ sở kế thừa cái cu. Chẳng hạn, một số phương trình bậc ba, bậc 4 dạng đặc biệt cũng được giải bằng cách đưa về phương trình bậc hai; còn trong một bài toán hình học đôi khi phải kết hợp cả các phương pháp phương pháp vectơ, phương pháp giải tích,… Tất cả sự phát triển đó là tất yếu trongtoán học, và vì sự tất yếu đó, nên khi xem xét kiến thức toán học phải ủng hộ cái mới, tránh thái độ bảo thủ. Cụ thể như, khi xét dấu tam thức bậc hai, ta phải vận dụng xét dấu tam thức bậc hai vào giải bài toán tránh thực hiện theo kiểu tách thành tích 2 nhị thức bậc nhất. Đôi khi, chúng ta lại nghĩ việc xét dấu nhị thức dễ hơn và chúng ta đã quen làm nên không chịu đổi mới qua phương pháp xét dấu tam thức. Đó chính là tư tưởng bảo thủ, thành kiến cái mới, tiến bộ.

Tất cả sự phát triển và vận động đó cũng gắn liền với sự phát triển và vận động của tư duy các nhà toán học. Sự phát triển không ngừng đó của toán học đã tạo ra sự phát triển về việc ứng dụng toán học vào các môn khoa học khác và vào thực tế cuộc sống. Toán học ngày càng phát triển thì khả năng ứng dụng của nó vào thực tiễn ngày càng cao.

4) Nguồn gốc vận động, phát triển của sự vật và hiện tượng

Mâu thuẫn là một chỉnh thể, trong đó có hai mặt đối lập vừa thống nhất với nhau, vừa đấu tranh với nhau. Trongtoán học, những mặt đối lập đó là số âm và số dương (trong chỉnh thể số thực), số chẵn và số lẻ (trong chỉnh thể số tự nhiên), đồng biến, nghịch biến (trong chỉnh thể hàm số), mệnh đề và phủ định của mệnh đề đó (trong chỉnh thể mệnh đề), tập hợp và phần bù của tập hợp, = và , số đúng và số gần đúng, trục Ox, Oy, ngoại tiếp và nội tiếp… Những mặt đối lập liên hệ gắn bó chặt chẽ với nhau, làm tiền đề tồn tại cho nhau. Triết học gọi đó là sự thống nhất của các mặt đối lập. Thật vậy, số thực dương và số thực âm không tồn tại riêng lẻ, nếu không có số thực dương thì số thực âm cũng không có đồng thời không tồn tại tập số thực và ngược lại.

5) Cách thức vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng

Sự biến đổi về chất dẫn đến sự biến đổi về lượng, chất mới sinh ra bao hàm một lượng mới tương ứng.

+ Ta xét tổng sau đây S=a+b
+ Quy tắc tam suất
+ Hàm số
+ Xét dấu biểu thức f(x)=6x+7: khi x thay đổi dần đến điểm giới hạn thì dấu của biểu thức cũng thay đổi
+ Xét một phương trình đa thức. Nếu nó là phương trình bậc hai thì có tính chất về nghiệm là vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt; còn nếu nó là phương trình bậc ba thì có tính chất về nghiệm là có nghiệm, có hai nghiệm, có ba nghiệm phân biệt

Một số câu hỏi tìm hiểu thêm:

1) Hãy cho 3 ví dụ sự vận động trong toán học. Trong triết học có nói, khi xem xét sự vật hiện tượng phải đặt trong trạng thái vận động không ngừng của chúng. Vận dụng điều này vào giải toán như thế nào?

2) Nhận thức gồm 2 loại là nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính, nhà triết học cổ Platon phê phán việc nhận thức cảm tính để chinh phục tri thức thế giới. Họ cho rằng bằng nhận thức cảm tính con người ta không bao giờ tìm được tri thức đích thực. Chỉ bằng nhận thức lý tính (cụ thể là tư duy con người) người ta mới có thể tìm ra được tri thức đích thực, suy nghĩ của bạn về vấn đề này?

3) Trong triết học Mác có nói “quá trình nhận thức khoa học là từ trực quan sinh động cho đến tư duy trừu tượng rồi từ tư duy trừu tượng trở về với thực tiễn”. Câu nói này được hiểu thế nào?

4) Sự biến đổi về lượng dẫn đến sự biến đổi về chất là một quá trình biến đổi từ từ. Vận dụng điều này vào việc dạy và học toán?

5) Trong triết học “sự biến đổi về lượng dẫn đến sự biến đổi về chất và đồng thời chất mới sẽ bao hàm một lượng mới tương ứng”. Hãy dựa vào chương “bất đẳng thức” mà đã được học, hãy làm sáng tỏ điều trên.

6) Nhà toán học Pháp Decart – cha đẻ của hệ trục tọa độ đã từng nói một câu rất nổi tiếng “tôi tư duy là tôi tồn tại”. Câu nói của ông thể hiện quan điểm triết học duy vật hay duy tâm vì sao?

7) Làm rõ mối quan hệ về lượng và chất trong các đối tượng sau:

a) Phương trình bậc hai ax²+bx+c=0 (a0) và =b²-4ac
b) Trong toán học người ta cho rằng “đường tròn là một đa giác đều mà số cạnh là vô hạn
c) Trong hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm M1(x₁,y₁), M(x₂,y₂)
d) Chương bất đẳng thức

Một số lời gợi ý:

4) Muốn giỏi toán, muốn điểm cao môn toán ta phải siêng năng, cần mẫn không được vội vàng nôn nóng, phải đi từ những việc nhỏ nhất (để cho lượng biến đổi dần) làm bài thật cẩn thận, phải đọc kĩ đề, phải xét điều kiện, phảibiện luận đầy đủ trường hợp, phải làm nháp nếu cần thiết, đọc kĩ đề bài rồi làm… Chúng ta nên nhớ “tích tiểu thành đại”, “góp gió sẽ thành bão”.

5) Từ nhiều bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương, người ta đã khái quát nên bất đẳng thức Cosi cho 3 số, và từ đó nó trở thành một công cụ quan trọng để chứng minh rất nhiều bài toán bất đẳng thức.

7d) Ban đầu chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bằng phương pháp tương đương. Từ một số bàichứng minh bằng phương pháp tương đương (lượng biến đổi), người ta tổng quát hóa nên bất đẳng Cosi. Và khi đó người ta dùng bất đẳng thức Cosi để chứng minh (chất biến đổi). Với phương pháp này, một số lượng lớn bất đẳng thức đã được chứng minh (bao hàm lượng tương ứng)

                                                                                                                                              (Nguồn: thuvienmini.com)

SỰ NỔI LOẠN CỦA SỐ KHÔNG

Cùng nghe câu chuyện về anh em nhà số qua góc nhìn thật hóm của anh chàng điển trai tên là SỐ BA nhé!


Thưa quý vị, tôi là một số 3. Chúng tôi có đến 9 anh chị em, là các số tự nhiên từ số 1 đến số 9.
Mỗi người mỗi vẻ, 

Số 1 thích khuyên răn người khác. 

Số 2 chuyên gia buôn dưa lê.

Còn tôi thầy bói phán là số chưa hoàn thiện, lúc nào cũng có xu hướng đi tìm một nửa (bên trái) của mình. 

Số 4 thích biểu diễn xiếc thăng bằng trên ghế. 

Số 5 hoang tưởng mình là siêu mẫu, gặp ai cũng hỏi: "Thử nắm xem có ai hài hòa những nét thẳng và cong như tôi không". Đến nỗi chỉ nghe nó nói thử ngắm là mọi người đã đồng thanh: "Biết rồi, thẳng và cong"

Số 8 cận lòi, thích đọc sách và xem ti vi. Mà cũng lạ, một đứa nhút nhát như nó lại rất thích xem phim hành động. Hỏi mãi, nó mới thú nhận : "Thỉnh thoảng trên mấy cái phim đó, họ nhắc tới em". Chúng tôi xem thử, hóa ra là còng số 8.

Ngộ nhất là thằng số 9 . Thỉnh thoảng, cao hứng, nó lại biểu diễn trồng cây chuối thành số 6.

 
Thằng số 6 thì nằng nặc đòi học trò này để... lừa

số 7 gọi là anh.

Ngày tháng êm đềm trôi qua cho đến khi thằng số 0 xuất hiện .

Chắc các bạn tưởng chúng tôi là cùng một mẹ, nhưng thực ra 9 anh chị em chúng tôi do người Ả Rập phát minh ra, còn thằng số 0 sinh sau đẻ muộn, quê quán hình như là Ấn Độ thì phải.

Ban đầu, chúng tôi thấy cái thằng tròn như quả dưa này cũng dễ thương. Nó cứ xách dấu cộng dấu trừ lăng xăng khắp nơi.

Rồi nó lại nghĩ ra trò biến hình, nó đang đứng đằng trước, thoát cái, nó vòng ra đằng sau và hấp... bạn bỗng lớn lên gấp 10 lần. Đôi khi nó cũng nghịch quá trớn khi gọi mọi người đến xem siêu mẫu 50 tuổi chẳng hạn.


Nhưng tai họa thật sự bắt đầu khi cậu chủ học phép nhân và thằng số 0 lĩnh hội được cách xài dấu nhân

Hễ nó đứng cạnh ai là người đó biến thành số 0 y như nó. Cái dấu nhân trong tay nó biến thành một vũ khí khủng bố siêu hạng. Và thằng số 0 cũng rất nhanh, từ 1 đứa trẻ hay nghịch dại trở thành kẻ quy định luật chơi. Nếu có ai thử mở miệng phản đối sẽ có một số 0 nữa. Mọi người đều im như thóc dưới triều đại của số 0.

Người đưa chúng tôi thoát khỏi cảnh hiểm nghèo là số 8. Một buổi tối, trong lúc tất cả mọi người im lặng, dăm chiêu nghĩ tới ngày mai, thì số 8 thì thầm: " Em nghe nói, bên cặp của cậu chủ lớn học lớp 11 có 2 anh Vô-Cùng-Lớn. Nghe nói họ có thể xơi tái số 0".

Chúng tôi dấy lên một hy vọng mong manh. Một buổi tối, tất cả bí mật kéo sang cặp cậu chủ lớn. Thoạt tiên, chúng tôi cứ ngỡ đó là 2 sư phụ của số 8, bởi họ giống hệt số 8 nằm ngang. Hai anh có vũ khí là dấu + và dấu -. Các anh tự giới thiệu mình là những : Dương Vô Cùng và Âm Vô Cùng.

Không hiểu có kẻ nào chỉ điểm, thằng số 0 cũng lạch bạch chạy sang, nó xách theo một dấu nhân to tướng. Nó nhìn hai anh Vô Cùng Lớn liền hăng máu vịt xông đến và ngay lập tức biến mất. 

Anh Dương Vô Cùng cười lớn: 

" Ngoài trời còn có trời, ngoài số học còn có đại số. Chúng bay đừng tưởng làm loạn được vói cái dấu nhân kia!".
Anh Âm Vô Cùng nói tiếp : "Toán học mênh mông như trời. Chỉ một thời gian ngắn nữa thôi, các em sẽ biết đến dấu chia. Nếu các số 0 sử dụng dấu chia này thì các em sẽ trở thành vô nghĩa. Khi chúng có ý định vùng lên tiếp, các em hãy nhớ rằng chỉ có hai con đường : hoặc là tuân theo chúng, hoặc là trở thành như chúng ta đây, những Vô Cùng Lớn.

ý nghĩa con Số 5

Con Số 5

Nguyễn Xuân Vinh & Nguyễn Phú Thứ

Giáo sư Nguyễn Xuân Vinh và giáo sư Nguyễn Phú Thứ, một người ở Hoa Kỳ một người ở Pháp, nhưng có cùng một tâm niệm là góp chung những kiến thức của mình để viết bằng tiếng Việt những bài luận thuyết về khoa học thường thức và phổ biến tới đại chúng. Lần này hai ông viết về những kỳ diệu của con số 5.

Phàm người đời thường cho rằng, tất cả hiện hữu có được trên quả đất này từ con người đến thú vật cũng như cây cỏ và vật dụng...đều có số hết cả. Có nhiều con số đáng cho chúng ta suy ngẫm. Riêng đối với con người, khi lọt lòng mẹ sanh ra cũng tính bằng con số, bởi vì, từ khi người mẹ thụ thai đến khi lọt lòng mẹ phải mất một thời gian khoảng 9 tháng 10 ngày, rồi khi ta lớn lên đến khi lìa đời cũng phải mất một thời gian dài hay ngắn, nếu người chết có số tuổi cao xem như chết già tức có số trường thọ, còn trái lại, người đó chết tuổi thấp xem như chết non tức có số chết yểu, hoặc người sanh ra được số sung sướng giàu sang phú quý hay bị số bất hạnh, nghèo khó. Điều đó ta gọi số mệnh. Vì luận đoán số mệnh đưa vào tuổi thọ, tức là thời gian dài hay ngắn, và tiền của nhiều hay ít hoặc phúc trạch là có đông con cái hay không nên người ta phải có những con số để đo lường. Do vậy, con số đó là gì?

Nhận Định chung về con số 5

Nếu chúng ta xét cho kỹ, thì thấy con số đó chỉ là con số chẵn hoặc con số lẻ đã được các nhà khoa học tìm ra cho chúng ta sử dụng sau này, nhưng nó chỉ đóng khung 10 con số căn bản. Đó là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 (bởi vì, số 0 cũng là con số) . Từ đó, chúng ta ghép nối để có những con số lớn hơn. Đây là, năm con số chẵn 0, 2, 4, 6, 8 và năm con số lẻ 1, 3, 5, 7, 9. Viết đến đây, chúng tôi lại nhớ : Căn cứ theo Hà Đồ Tiên Thiên Bát Quái gồm có 10 con số là : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và 10. Nhưng được phân định như sau :

Năm con số dương = Trời, tức số lẻ như đã dẫn ở trên là : 1, 3, 5, 7, 9. Nếu chúng ta đem cộng tất cả những số này thì có kết quả như sau : 1+3+5+7+9 = 25.

Năm con số âm = Đất, tức số chẵn như đã dẫn ở trên là 2, 4, 6, 8, 10 (vì 1 ghép nối với 0 = 10) . Nếu chúng ta đem cộng tất cả những số này thì có kết quả như sau : 2+4+6+8+10 = 30.

Nếu chúng ta cộng kết quả của số dương và số âm thì có được như sau : 25 + 30 = 55. Con số này gồm chung cả thiên địa rất công bằng, vì mỗi thiên và mỗi địa đều có 5 lại tương đắc, công bằng với nhau, vì : "Thiên số ngũ, Địa số ngũ, ngũ vị tương đắc nhi các hữu hiệp" (Số trời có năm số, số đất có năm số, năm ngôi cùng tương đắc mà điều hạp nhau). Ngoài ra, theo Lão Tử đã viết: "Nhứt sanh nhị, nhị sanh tam, tam sanh vạn vật" và theo Kinh Dịch đã viết :"tam thiên, lưỡng địa" (bởi vì, tiên âm hậu dương) tức Trời 3, Đất 2. Từ đó, người đời thuờng nói : "Trời cao, Đất rộng" hay "Trời tròn, Đất Vuông" là thế đó. Nếu chúng ta cộng Trời 3 là dương với Đất 2 là âm thì nó có số thành là 5 và cộng thêm vạn vật 2, thì trở thành 7 tức con số tối đa của số nguyên tố trong các con số lẻ đầu tiên, kể từ 1, 3, 5, 7 đến 9, bởi vì con số 9 không phải là số nguyên tố, vì nó có thể chia chẵn làm ba lần, với 1, với 3 và với 9.

Hơn nữa, nếu chúng ta để ý lấy số lẻ của 5 số dương là : 1, 3, 5, 7, 9 đem cộng lại như đã thấy ở trên, có kết quả là 25 và rồi lấy số 25 tức 2 với 5 cộng lại thì lại có kết quả : 2 + 5 = 7, thì cũng có kết quả là 7.

Trong bài này chúng tôi đặc biệt viết về con số 5, vì nó là kết hợp của Trời (3) và Đất (2). Từ ngàn xưa theo các kinh điển, người ta đã có những nhóm gồm 5 phân tử như sau :

Ngũ quan gồm có : Tai (nhỉ ), Mắt (mục), Mũi (tị ), Miệng (khẩu ), Lưỡi (thiệt ); Ngũ phước gồm có : Phú (giàu có), Thọ (sống lâu), Khương ninh (sức khỏe), Du háo Đức (đức hạnh), Khảo chung (trọn thân sống); Ngũ Hành gồm có: Kim, Mộc, Thủy, Hỏa, Thổ; Ngũ cúng gồm có : Hương, Đăng, Trà, Hoa, Quả; Ngũ Thường gồm có : Nhân, Nghĩa, Lễ, Trí, Tín; Ngũ giới cấm là 5 điều ngăn cấm của đạo Phật đối với người Phật Tử là: Sát sanh, Đạo tặc, Tà dâm, Uống rượu, Nói dối. (Nếu chúng ta nhìn kỹ và so sánh Ngũ Thường của Nho Giáo và Ngũ Giới của Phật Giáo thì thấy có sự liên hợp giống nhau, bởi vì : Nhân = Không sát sanh; Nghĩa = Không đạo tặc; Lễ = Không tà dâm; Trí = Không uống rượu và Tín = Không nói dối) ; Ngũ Quả gồm có các trái cây như : Mãng cầu, Chùm sung, Dừa tươi, Đu đủ, Xoài v.v.

Ngoài ra, con số 5 là con số kết hợp Trời và Đất, bởi vì tam Thiên, lưỡng Địa và một đặc điểm đáng lưu ý nữa, trong dân gian mình thường tín ngưỡng cứ mỗi tháng có 3 ngày kỵ xuất hành. Đó là, theo câu ca dao :

Mùng năm, mười bốn, hăm ba,
Đi chơi cũng lỗ, lọ là đi buôn.

Nhưng nếu chúng ta bình tâm mà xét theo con số thì có kết quả ba ngày ấy cũng là số 5, bằng chứng là con số 14 tức 1 và 4, nếu đem 1+4 = 5. Con số 23 cũng vậy, tức 2+3 = 5. Do vậy, 3 ngày đó đều có số thành là 5.

Nhiều tổ chức và kiến trúc thời cận đại cũng có căn bản là số 5. Chẳng hạn như :

- Cơ quan đầu não quân sự lớn nhất thế giới được đặt ở Ngũ Giác Đài.

- Nói về quân sự, khi có binh lực thật mạnh, người xưa chia việc chỉ huy ra cho năm quân là: tả quân, hữu quân, tiền quân, hậu quân và trung quân. Dưới thời nhà Nguyễn, chức vụ võ quan cao cấp nhất là Chánh Võ Nhất Phẩm được gọi là "Ngũ Quân Đô Thống".

- Nếu thời xưa là cái gì thuộc dĩ vãng, cổ hủ thì trở lại nói chuyện ngày nay. Tại Hoa Kỳ khi được vinh thăng cấp bậc Thống Chế tột bực trong quân đội như Dwight David Eisenhower (1890-1969) thì được dùng 5 ngôi sao cho cấp hiệu.

Trong vạn vật, con số 5 cũng luôn luôn được hiện hình như theo luật thiên nhiên của tạo hóa.

- Nhiều loài hoa hồng quý giá, hay cả những hoa thường như hoa dâm bụt, khi nở cũng xoè ra năm cánh.
- Ngôi sao bể là một loài thủy tộc cũng có năm nhánh thay vì bốn nhánh hay sáu nhánh.
- Một quả khế cũng có năm khía chìa ra như muốn mời mọc con người tiền sử lần đầu tiên nếm thử mùi vị chua nồng của loại trái cây mới.
- Con người ta lúc đầu tiên tập đếm cũng chỉ tới số 5, vì dùng đầu ngón tay cũng chỉ tới được năm ngón.
- Khi loài người bắt đầu thu nhập những âm hưởng của thiên nhiên, tiếng chim hót thông reo, tiếng gió thoảng bên khe núi và tiếng suối chảy lưng đèo, để đặt ra cung bậc, cũng xếp thành năm cung là : Cung, Thương, Giốc, Trủy và Vũ. Như tả về tài đánh đàn của Kiều, cụ Nguyễn Du đã viết:

"Cung thương lầu bực ngũ âm,
Nghề riêng ăn đứt hồ cầm một chương"

Khi tả đến đoạn nàng Kiều gẩy đàn cho Hồ Tôn Hiến nghe, cụ Nguyễn Du cũng viết là:

"Bắt nàng thị yến dưới màn,
Giở say lại ép cung đàn nhật tâu.
Một cung gió thảm, mây sầu,
Năm cung giỏ máu năm đầu ngón tay"

Ở đây còn nhiều loại khác để chỉ con số 5 không thể kể ra hết được (Độc giả cần tìm hiểu thêm xin tìm đọc quyển thượng từ trang 419 đến trang 423 của tác phẩm Tìm Hiểu Tử Vi Đẩu Số và Địa Lý của Nguyễn Phú Thứ).

Số 5 trong hình học

Trong thiên nhiên, những hình có vẻ đẹp tuyệt vời, thường là những hình được nẩy sinh từ nguyên thủy. Những thí dụ ta nhìn thấy hàng ngày là hình tròn trong mặt phẳng và hình cầu trong không gian. Người tiền sử khi ném một hòn đá xuống mặt hồ sẽ thấy những gợn sóng lan ra như những vòng tròn đồng tâm. Mặt trời, mặt trăng trông cũng có hình tròn, nhưng thật ra là những hình cầu tức là hình tròn trong không gian ba chiều. Ngoài hình tròn ra, trong mặt phẳng, những hình nhiều cạnh đều cũng là những hình đặc biệt. Trước hết ta có hình tam giác đều ba cạnh và hình vuông có bốn cạnh đều nhau. Sau đó đến hình năm cạnh đều và hình sáu cạnh đều. Hình năm cạnh, hay cũng còn gọi là hình năm góc, hay là hình ngũ giác có nhiều tính chất siêu việt hơn là hình sáu cạnh, mà ta cũng còn gọi là hình lục lăng.

Để chứng tỏ tính chất thiên nhiên của hình ngũ giác ta chỉ cần lấy một băng giấy rồi thắt chéo lại thì sẽ có được một hình ngũ giác đều.

Muốn gấp giấy thành một hình lục lăng đều thì phải hoặc là dùng hai băng giấy hay là phải dùng một kiểu gấp cầu kỳ hơn nữa, và điều này chứng tỏ rằng hình ngũ giác thật là một hình thiên nhiên tạo thành. Theo lẽ tự nhiên của số học, ba con số 3, 4 và 5 phải đi liền với nhau. Cũng vì vậy mà mấy ngàn năm trước đây, người ta đã tìm ra hệ thức là "tổng số bình phương của hai số 3 và 4 sẽ cho ta bình phương của số 5" tức là :

Cũng vì sự suy luận sau 3 và 4 phải tới 5 mà Pythagoras đã tìm được định lý rằng : "một tam giác có cạnh tỷ lệ theo những số này phải là một tam giác có góc vuông"

Cách đây ba ngàn năm, người Ai Cập và vào khoảng hơn 500 năm trước công nguyên, nhà toán và triết gia Hy Lạp là Pythagoras đã biết được rằng có ba cố thể mà tất cả các mặt đều có những hình có cạnh đều bằng nhau là hình tháp bốn mặt, hình tám mặt, ở hai cố thể này mỗi mặt đều là những hình tam giác đều bằng nhau và hình thứ ba là hình lập phương có sáu mặt, mỗi mặt đều là những hình vuông bằng nhau. Tới thời triết gia Hy Lạp là Plato vào khoảng 428-348 trước công nguyên thì chứng minh được rằng chỉ có năm cố thể có mặt đều nhau. Hai cố thể sau cùng như trên hình vẽ bên đây là cố thể có 20 mặt, mỗi mặt là những hình tam giác đều bằng nhau và cố thể có 12 mặt, mỗi mặt là những hình ngũ giác đều bằng nhau. Ta nhận thấy không những là chỉ có 5 cố thể hình đều, mà những mặt đều lại chỉ có thể là những hình 3 cạnh, 4 cạnh và 5 cạnh đều mà thôi. Năm hình đã tìm được ra, được gọi là năm cố thể đều của Plato.

Con số Vàng

Ba con số đầu tiên là 1,2 và 3 hay được người Á Đông chú ý đến. Ngoài số 1 là đơn vị, thường cùng để chỉ một ngôi vị chí tôn, người ta hay dùng số 2 để chỉ Đất và số 3 để chỉ Trời. Căn nhà Việt Nam khi xưa thường cất có 3 gian, 2 chái, bao gồm có sân hoa ở giữa. Như thế có nghĩa là thuận hòa được cả Trời và Đất. Về kích thước thành hình chữ nhật, người ta thường dùng khuôn khổ cho khung cửa khi xây cất nhà, hay kích thước lá cờ biểu tượng cho quốc gia, theo tỷ số 3/2, nghĩa là nếu lấy chiều ngang là 2, thì chiều dài phải là 3 đơn vị. Hình chữ nhật mà có cạnh theo tỷ số 3/2 = 1,5 thường được coi như là một hình đẹp mắt.

Sự thực, tỷ số lý tưởng nhất về phương diện mỹ thuật, lại là một số vô tỷ, nghĩa là không bằng tỷ số của hai số nguyên nào. Số này gọi là số vàng, biểu ký bằng mẫu tự Hy Lạp là :

Φ = 1,618033... đã được biết đến và được áp dụng trong sự kiến thiết dinh thự cách đây 25 thế kỷ.

Vào thế kỷ thứ 13, một trong những nhà số học của thời Trung Cổ này là Leonardo da Pisa (1175-1250) và được gọi tên là Fibonacci, theo tiếng Ý có nghĩa là "Con trai của ông Bonacci". Toán học ở thời đại này thì thực ra không tạo được nhiều điều đặc biệt để lưu lại hậu thế, nhưng tình cờ Fibonacci lại tìm ra được một số liệt, tức là một giẫy số, khá trùng hợp với sự cấu trúc của tạo vật như sau : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . . .

Muốn biết số liệt này thì bắt đầu bởi số 0 và số 1, rồi kể từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số hạng lại bằng tổng số của hai số hạng đứng trước. Bạn đọc có thể coi số liệt ở trên để kiểm lại định luật viết số liệt chúng tôi vừa kể.

Liệt số này hay được gặp ở thiên nhiên. Nhiều nhà thảo mộc học đã tìm ra rằng các cây hay nụ hoa nở trên một cành thường nẩy mầm theo số liệt Fibonacci. Muốn dễ hiểu, ta lấy những số Fibonacci 3, 5, 8, 13 thì sẽ thấy là nhiều giống hoa đã chọn những số này là số các cánh hoa. Một thí dụ đặc sắc nhất là sự bố trí các hạt trên mặt hoa hướng dương, hay còn gọi là hoa quỳ (Tournesol)

Những hạt trên mặt hoa được xếp theo những hình xoán ốc rất đặc biệt trong toán học gọi là những hình xoắn ốc Logarit. Như trên hình có những đường xoắn theo chiều kim đồng hồ và những đường xoắn theo chiều ngược lại. Điều kỳ lạ là số đường xoắn thuận và số đường xoắn nghịch không bằng nhau mà lại theo như số liệt Fibonacci. Chẳng hạn hoa nhỏ có 13 đường xoắn theo chiều thuận và 21 đường xoắn theo chiều nghịch. Hoa lớn có thể theo những số (34, 55) và người ta cũng đã tìm được những hoa thật lớn có số vòng thuận và nghịch theo liệt số Fibonacci (89, 144).

Một sự trùng hợp tự nhiên nữa là nếu ta lấy ba số liên tiếp trong số liệt số Fibonacci rồi lấy tích số của hai số đầu và cuối rồi trừ đi bình phương của số ở giữa thì sẽ được +1 hay -1. Tỷ dụ theo số liệt đã viết ở trên, ta thấy :

Điều huyền diệu nhất ở trong số liệt Fibonacci là "nếu gọi F_n là một số hạng trong số liệt thì tỷ số hai số hạng liên tiếp, tức là tỷ số F_n+1 / F_n sẽ dẫn đến một số Phi (Hy Lạp) Φ mà các nhà toán học qua các thời đại đã đồng ý đặt tên là số vàng. Theo số liệt viết ở trên ta tính những số hạng theo hai cột dưới đây :

3/2 = 1.500000                                                     5/3 =1.666667
8/5 = 1.600000                                                   13/8 = 1.625000
21/13 = 1.615385                                             34/21 = 1.619048
55/34 = 1.617647                                             89/55 = 1.618182

144/89 = 1.617978                                      233/144  =  1.618056

Φ = 1.618033989...

Cứ tiếp tục mà tính ta sẽ thấy cột bên trái tỷ số tăng dần và tỷ số bên phải giảm dần để cùng hội tụ lại một số Phi gọi là số vàng. Vậy số vàng ở đâu mà ra, và tại sao lại được trân quý như vậy? Muốn có một ý niệm sơ khai thì chúng ta nhìn hình vẽ của một hình ngũ giác đều trong đó có chứa nhiều hình tam giác cân. Những hình tam giác này được gọi là những tam giác vàng, vì chúng có đặc tính là tỷ lệ của cạnh bên chia cho đáy thì đúng là số vàng. Hơn nữa, tam giác vàng lại có tính chất hoá sinh rất đặc biệt, từ nó nảy ra nhiều tam giác vàng liên tiếp một cách vô tận. Tính chất này và sự liên hệ giữa hình ngũ giác đều và số vàng sẽ được trình bày dưới đây :

Hình Chữ Nhật Vàng

Vì con số vàng chỉ là một số, dù là một số vô tỷ, viết ra thì dài bất tận, nên trong hình học nó chỉ dùng để biểu thị một tỷ số. Tỷ số này là một mỹ số nên hay được thấy trong hội họa và kiến trúc. Một thí dụ đặc biệt là điện Parthenon ở Hy Lạp, được kiến trúc 5 thế kỷ trước công nguyên, diện tiền được lọt vào đúng khuôn khổ một hình chữ nhật mà tỷ số chiều dài chia cho chiều cao lại đúng bằng số vàng Φ = 1,618... .Những hình chữ nhật theo tỷ số này được gọi là hình chữ nhật vàng.

Một thí dụ khác là những thẻ tín dụng bằng plastic rất phổ thông ở thời đại này cũng có hình thể gần giống như hình chữ nhật vàng. Nhiều nhà tâm lý học đã làm những cuộc thử nghiệm và thấy rằng hình chữ nhật có cạnh theo tỷ số vàng là một hình được ưa chuộng nhất. Cũng vì thế mà những hoạ sĩ khi lựa chọn kích thước cho những thẻ tín dụng đã chọn tỷ lệ vào khoảng 1,59, nghĩa là cũng gần bằng tỷ số vàng.

Ta có thể định nghĩa số vàng biểu thị bằng ký hiệu Φ như là một số mà khi trừ đi 1 rồi lấy số nghịch đảo ta lại được số Φ. Viết thành phương trình, ta có :

Φ = 1/ ( Φ - 1)

Khai triển ra, ta được :

Đây là một phương trình đại số bậc hai, và khi giải ra để lấy đáp số có trị số dương ta có ngay :

Φ = (1/2)(1 + ) = 1,618033989 ...

Ta thấy ngay là số Φ được tính từ căn hai của số 5 mà ra. Từ trị số nói trên của số vàng, ta suy ra phép về hình chữ nhật vàng như sau : Lấy AB là cạnh có độ dài là một đơn vị, AB = 1, và sau đó kiến trúc hình vuông ABEF. Lấy O là trung điểm của AB. Theo định lý Pythagoras, đoạn OE sẽ có độ dài là OE = OC =  /2 . Nếu như thế  thì khi vẽ chon trọn hình chữ nhật ACDF thì hình này có chiều dài là AC = Φ, và chiều ngang là AF = 1. Tỷ số hai chiều là số Φ, và hình chữ nhật là hình chữ nhật vàng.

Hình chữ nhật vàng, hay còn gọi tắt là hình kim nhật, có một tính chất hóa sinh rất đặc biệt. Theo như hình vẽ nếu từ hình chữ nhật lớn, ta bỏ đi hình vuông ABEF, thì còn lại hình chữ nhật nhỏ BCDE. Hình này có cạnh dài là BE = 1. Trong khi ấy thì cạnh ngắn là BC = Φ - 1 . Tỷ số hai cạnh của hình chữ nhật này sẽ là 1/( Φ -1) và theo định nghĩa của số vàng thì tỷ số này cũng là số Φ. Vậy thì hình chữ nhật nhỏ này cũng là hình kim nhật. Muốn nhìn thấy sự hóa sinh diệu kỳ này ta bắt đầu từ một hình kim nhật lớn ở ngoải cùng. Mỗi lần cắt bớt đi một hình vuông lại có hình kim nhật nhỏ hơn. Nếu ở mỗi hình vuông, dùng compa để vẽ những phần tư vòng tròn liên tiếp nhau thì sẽ được một hình xoắn ốc, gọi là hình xoắn ốc Logarit. Trong tất cả những hình được gọi chung là hình xoắn ốc, thì hình xoắn ốc Logarit có đặc tính là dù ở gần tâm điểm hay vòng ra ngoài xa, hình dạng vẩn giữ nguyên. Tâm điểm này là điểm O, là điểm gặp nhau của những đường chéo góc của các hình kim nhật. Trên đường xoắn ốc Logarit, nếu ta lấy một điểm M bất kỳ nào và vẽ bán kính OM và tiếp tuyến MT với đường xoắn ốc, thì góc α (alpha) giữa OM và MT lúc nào cũng giử nguyên một trị số.

Hình Tam Giác Vàng

Nay ta trở lại với hình ngũ giác đều theo như hình vẽ ở dưới đây. Nếu vẽ những đường chéo nối những đỉnh của hình ngũ giác đều thì ta sẽ được một ngôi sao năm cánh đều. Những đường chéo hợp với những cạnh của hình ngũ giác thành những tam giác cân, có góc ở đỉnh là  36^o và hai góc bằng nhau ở đáy mỗi góc là 72^o, tức là bằng hai lần góc ở đỉnh. Ở phía trong hình ngôi sao lại hiện ra một hình ngũ giác đều và hình này lại sinh ra một hình ngôi sao 5 cánh đều thứ hai và cứ thế tiếp tục đi vô tận.

Trước công nguyên năm thế kỷ, trường phái Pythagoras đã biết được rằng tỷ số giữa các cạnh của ngôi sao năm cánh và cạnh của hình ngũ giác là số vàng. Đồng thời họ đã biết dùng thước kẻ thẳng và compa để chia tỷ số vàng, nghĩa là họ biết cách để vẽ hình ngũ giác đều, nhưng lại giữ kín không cho người ngoài được biết. Tất cả những tam giác cân mà ta đã vẽ lồng trong hình ngũ giác đều là những tam giác mà tỷ số cạnh bên chia cho đáy là tỷ số vàng. Ta gọi những tam giác này là tam giác vàng hay là kim tam giác. Tam giác này cũng có tính chất hóa sinh, vì nếu góc ở đáy bằng hai lần góc ở đỉnh, thì khi ta vẽ đường phân giác ở đáy ta lại tạo ra một kim tam giác có góc ở đỉnh bằng 36^o và hai góc đều nhau ở chân mỗi góc bằng 72^o. Ta cũng nhận thấy nếu góc ở đỉnh của một hình lục lăng đều là 120^o thì góc ở đỉnh của một hình ngũ giác đều là 108^o. Trong văn học Trung Hoa những con số 36, 72 và 108 là những con số được ưa chuộng như là những con số tự nhiên đã có sẵn trong trời đất. Người lớn coi những con số đó như là những số ưu việt, nghĩa là nếu được thêm vào thì coi như là thừa và nếu bớt đi thì lại thấy thiếu sót. Cũng như vậy trong sách Nam sử có câu :

"Tam thập lục kế tẩu vi thượng sách"

nghĩa là trong ba mươi sáu phương sách thì chạy đi là hơn cả. Cụ Nguyễn Du cũng dùng câu này để tả lời nói của Sở Khanh khi rủ Kiều đi trốn :

"Thừa cơ lẩn bước ra đi,
Ba mươi sáu chước, chước gì là hơn ?"

Trong những truyện kiếm hiệp, nhà văn Kim Dung cũng nói là phái Thiếu Lâm có tất cả bảy mươi hai tuyệt kỹ, tức là coi con số này như là một số viên mãn. Trong truyện Thủy Hử cũng chỉ nói tới 108 vị anh hùng trên Lương Sơn Bạc, chứ không thêm vào nữa cho trọn số 120 vị hảo hán.

Ta cũng có thể bắt đầu từ một tam giác vàng lớn và dùng tính chất hóa sinh để tạo ra nhiều tam giác vàng khác. Như trên hình vẽ, nếu ta vẽ đường phân giác của một góc ở đáy, ta sẽ tạo ra một tam giác vàng nhỏ vì có góc ở đỉnh là 36^o, và một góc ở đáy đã là 72^o, thì góc thứ ba cũng sẽ là 72^o và tam giác là tam giác vàng. Nếu dùng những tam giác được cắt bỏ đi mà vẽ những vòng cung như ở trên hình và nối tiếp những vòng cung lại với nhau thì ta lại kiến tạo được một hình xoắn ốc Logarit.

KAPREKAR – Hằng số thần kì

Một con số tầm thường, chẳng có gì là ấn tượng phải không các bạn?
Nhưng khoan đã, mình xin bạn hãy làm các bước sau:
1- Chọn một con số bất kỳ gồm 4 chữ số (dĩ nhiên với điều kiện cả 4 chữ số này không được trùng nhau như 1111, 2222,...) Ví dụ mình thử chọn ngày tháng hôm nay là 2202 đi.

2- Đảo lộn thứ tự các chữ số sao cho mình chọn được 2 con số lớn nhất và nhỏ nhất thu được từ việc đảo lộn này. Trong ví dụ của mình là hai số 2220 và 0222.
3- Lấy số lớn nhất trừ đi số nhỏ nhất: 2220 - 0222 = 1998
4- Lặp lại bước 2 và 3 đối với hiệu số vừa thu được.
Như vậy ta có các bước sau: 9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174 ...
Bạn đã thấy gì chưa? Hằng số Kaprekar xuất hiện sau phép trừ thứ 4 !
Dĩ nhiên là bắt đầu từ đây bạn sẽ dậm chân tại chỗ, không thu được số nào khác ngoài hằng số này.
Có thể điều này chỉ là sự trùng hợp, không có gì đáng lạ lắm.
Nhưng điều kỳ diệu chính là: nếu ngay từ đầu bạn chọn một số bất kỳ nào khác thì cuối cùng bạn cũng sẽ phải dậm chân tại hằng số Kaprekar chứ không phải một số nào khác! Nếu không tin bạn cứ thử xem.
Và bạn sẽ không phải mất thời gian tính toán vì với bất kỳ số nào, bạn cũng sẽ chỉ mất tối đa 7 bước (7 phép trừ) để đi đến kết quả cuối cùng.
Kaprekar là tên của một nhà toán học nghiệp dư người Ấn Độ đã phát hiện ra hằng số này vào năm 1946. Quy luật này không chỉ dành cho các số 4 chữ số, mà còn có các "hằng Kaprekar" khác dành cho các số có 3, 5, 6,... chữ số. Bạn thử tìm các hằng số này xem.

Chúng bay sẽ bị “đạo hàm”

Một thanh niên trẻ mắt mũi trợn trừng lao lên toa tàu đe nẹt mọi người... Hắn phi như điên trên toa tàu, huơ huơ tay và mồm la to dữ tợn. "Chúng bay dẹp ra, cút hết đi."

"- Nếu đứa nào còn đứng chắn đường ta, nó sẽ bị ta đạo hàm hoặc không thì sẽ bị tích phân..."

Mọi người trên tàu hoảng loạn, chạy té cả ra, tránh thật xa tên thanh niên dữ tợn. Duy nhất, chỉ còn một cô gái xinh đẹp, chân dài vẫn đứng nguyên tại chỗ, mỉm cười. Tên thanh niên tiếp tục đe dọa và nhắc lại lời hứa sẽ tích phân hay đạo hàm cô gái.

Cô gái mỉm cười thỏ thẻ:

"- Dạ thưa chàng, thiếp không sợ đâu. Thiếp chính là e^x" (e mũ x)


..........................................

Đây là cô nàng nắm rất chắc kiến thức giải tích cơ sở. Lý do để không sợ anh ta có thể trình bày đơn giản như sau:

∫exp(x)dx = exp(x) + C

d(exp(x))/dx = exp(x)

trong đó ký hiệu toán học exp(x) chính là e^x với e=2.71828 (cơ số tự nhiên néper). Điều này có nghĩa là anh chàng thoải mái đạo hàm hay tích phân, cô nàng vẫn là exp(x) mà thôi.

Bài Toán Cổ Dân Gian

Hôm trước ta có nói đến một bài toán cổ trên ngôi mộ cổ có khắc số 2520 đó là một con số rất đẹp trong một bài toán có đánh dấu sao dành cho hs lớp 4 mà ngày xưa lão già mùa đông này đã học .

Hôm nay lão già mùa đông này lại nói đến một bài toán cổ nữa mà cô tiên mùa xuân đã dạy cho lão hồi lớp 6 . Những dòng in đậm màu xanh chính là cô tiên đã dạy lão cách giải đó đấy

Bài toán cổ dân gian

Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi bao nhiêu gà bao nhiêu chó!

Bài giải

ta gọi : chó =X , gà=Y
ta được X + Y = 36 (1)
và 4X + 2Y = 100 (2)
giải hệ pt 2 ẩn số
đem pt (1) x2 ta được 2X + 2Y = 72
Trừ 2 vế ta được 2X = 28
=> X = 14 và Y = 22
Kết luận : có 14 chó và 22 gà

Bài toán này là bài toán cổ, toán học đã chững minh rằng nó có hệ nghiệm duy nhất.
Vét cạn trong không gian tìm kiếm sẽ tối ưu khi ta tìm trong không gian giao của các không gian. Ở đây ta có hai không gian. Không gian thứ nhất giới hạn bởi tổng số gà và chó bằng 36. Không gian thứ 2 giới hạn số chân bằng 100. lời giải của các bạn là tìm nghiệm thỏa mãn không gian thứ nhất ( tổng số con vật bằng 36 ), xong rồi vét trên không gian thứ 2 ( tổng số chân bằng 100 ). Lời giải của mình là tìm nghiệm thỏa mãn trên không gian thứ hai trước ( tổng số chân bằng 100 ), xong rồi vét cạn trên không gian thứ nhất ( tổng số con vật bằng 100 ).
nếu giao của hai tập hợp A và B là khác rỗng, theo toán học ta có : A ^ B = B ^ A. Tức là việc vét một không gian theo không gian còn lại để tìm giao là hoàn toàn tương đương. Giao của hai không gian này chính là lời giải mà chúng ta cần tìm.


Đây là bài toán cổ quen thuộc có trong SGK toán cũ với học sinh lớp 8 , 9 bài toán được giải dễ dàng bằng cách đưa về 1(hệ) phương trình bậc nhất nhưng với học sinh lớp 5 , 6 đây là bài toán khó điển hình cho dạng toán giả sử thường chỉ dành cho học sinh khá giỏi . Dạng toán có tên gọi như thế vì khi giải dạng toán này bài giải được bắt đầu bằng câu : Giả sử rằng …Cụ thể với bài toán trên, bài giải thường được trình bày như sau:

Giả sử cả 36 con đều là chó cả, khi đó tổng số chân có là: 36 x 4 = 144 (chân)
Số chân bị dôi ra là 144 – 100 = 44 (chân)
Sở dĩ như vậy do số chân của mỗi con gà bị tính dôi ra là: 4 – 2 = 2 (chân)
Vậy số gà là: 44:2 = 22 (con)
Số chó là: 36 – 22 = 14 (con)

Đã qua nhiều năm tôi vẫn còn nhớ cái cảm giác chưng hửng khi lần đấu gặp bài toán này, bó tay và rồi được thấy cho bài giải Giả sử .. . Cái Giả sử trời ơi này từ đâu ra thế?
Hình như để tránh cái Giả sử đột ngột kia, và cũng để tạo ấn tượng, một số tác giả đưa ra cách giải Gắn thêm cho mỗi con gà 2 chân, khi đó tổng số chân là … hoặc bắt mỗi con chó đều gác hai chân lên bàn … . Ấn tượng thì có ấn tượng thật, nhưng vẫn cái cảm giác gượng ép, đột ngột từ trên trời rơi xuông.

Một số tác giả khác đưa ra cách giải bằng sơ đồ:

Biểu thị số chó bằng một hình tam giác, số gà bằng một hình tròn.
Như thế ta có 1 tam giác + 1 hình tròn = 36,
Số chân chó + số chân gà = 4 tam giác + 2 hình tròn = 100
Thay 2 tam giác + 2 hình tròn = 72, còn lại 2 tam giác = 100 – 72 = 28 …

Thực chất cách giải này là giải một hệ phương trinh bậc nhất trong đó hai ẩn x, y thông thường được thay bằng các hình vẽ tam giác, hình tròn. Nhìn chung vẫn là cách giải truyền thống: phỏng theo cách giải đại số để giải bài toán số học.

Mọi bài toán đố đều cần được xem như những trò chơi trí tuệ, nhằm rèn luyện trí tuệ …

Toán vui

4 ông A B C D đi uống nước. Tổng số tiền phải trả là 25 đồng.
A B C mỗi ông trả 10 đ.( 10*3 =30 ) Ông D không trả 

Bà chủ thối 5 đ.

Ông D lấy 2 đ, còn lại 3đ chia đều cho 3 ông kia.

A B và C nghĩ : vậy mỗi ông chỉ chịu thiệt có 9đ, cộng với số tiền ông D giữ : 9*3 +2 = 29 đ

Vậy rốt cuộc thiếu 1 đ ? Vậy đồng đó ở đâu ?

Bài này có người đã đố Cir ở AL
 

Giải 


+ Ba người không mất đồng nào cả. Vì 27 đồng chi ra trong đó gồm 25 đồng trả chủ quán và 2 đồng cho ông D.
Tóm lại, số tiền 30 đồng gồm 25 đ trả bà chủ; 2 đ ông D giữ và 3 đồng mà 3 ông kia đã nhận lại sau đó.

Vì sao thiên tài toán học Nga từ chối 1 triệu USD?

Grigory Perelman, nhà toán học người Nga từng từ chối giải thưởng một triệu USD, tuyên bố ông biết cách kiểm soát cả vũ trụ nên chẳng cần tới tiền.

Vào tháng 3/2010, Viện Toán học Clay (CMI) tại Mỹ thông báo họ sẽ trao khoản tiền thưởng trị giá một triệu USD cho Grigory Perelman, nhà toán học Nga, do ông chứng minh được giả thuyết Poincaré, một trong bảy vấn đề toán học quan trọng nhất trong thiên niên kỷ thứ hai chưa được làm sáng tỏ.

Nhưng Perelman, hiện thất nghiệp và sống cùng mẹ trong một căn hộ nhỏ ở thành phố St Petersburg, từ chối nhận giải thưởng. Lý do mà ông đưa ra là CMI phớt lờ nỗ lực của Richard Hamilton, một nhà toán học khác, trong quá trình chứng minh giả thuyết Poincaré. Tuy nhiên, một bộ phận dư luận không tin đây là lý do khiến ông từ chối giải thưởng.

Nhật báo Komsomolskaya Pravda của Nga cho biết, tiến sĩ Perelman đã trò chuyện với một nhà sản xuất phim có tên Alexander Zabrovsky vào cuối tháng 4. Vì Zabrovsky sắp sản xuất một phim tài liệu về các nhà toán học xuất sắc nhất thế giới nên Perelman đồng ý trả lời những câu hỏi phỏng vấn của ông. Trong cuộc phỏng vấn nhà toán học nhắc tới khái niệm trống rỗng. Ông cho rằng tình trạng trống rỗng tồn tại khắp nơi và con người có thể tính toán được nó.

“Tôi cùng các đồng nghiệp đã tìm ra cách tính toán sự trống rỗng. Chúng tôi hiểu rõ các cơ chế lấp đầy những khoảng trống xã hội và kinh tế”, ông nói với nhà báo tuần trước.

Perelman nói nghiên cứu của ông có thể mở đường cho sự ra đời của nhiều ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực - từ công nghệ nano tới các bộ môn khoa học xã hội. Nó sẽ giúp nhân loại hiểu bản chất tự nhiên của vũ trụ. Do hoạt động nghiên cứu quá thú vị nên ông không còn thời gian cho những vấn đề khác.

"Tôi biết cách kiểm soát cả vũ trụ, vậy thì tại sao tôi phải theo đuổi một triệu USD?", ông nói.

Nhà toán học được xưng tụng là "người thông minh nhất thế giới" cũng giải thích nguyên nhân khiến ông không muốn trả lời phỏng vấn của giới truyền thông suốt một năm qua. Perelman khẳng định ông tránh xa giới truyền thông vì không muốn nổi tiếng và cũng sợ hành vi xấu của một số nhà báo.

Giả thuyết Poincaré, được nhà toán học lỗi lạc Henri Poincaré đưa ra năm 1904, liên quan đến cấu trúc bên trong của các định dạng ba chiều. Chứng minh giả định này là một trong những vấn đề làm đau đầu các nhà toán học thế giới suốt 100 năm qua.

CMI xếp giả thuyết Poincaré cùng với sáu vấn đề hóc búa trong toán học thành bảy bài toán của thiên niên kỷ và tuyên bố sẽ trao một triệu USD cho người đầu tiên giải quyết được một trong số các vấn đề.

Perelman, người từng làm việc ở Viện toán học Steklov ở St Petersburg, bắt đầu đăng lên mạng các tài liệu chứng minh giả định năm 2003. Loạt kiểm tra sau đó chứng minh ông đã đúng.

Bốn năm trước, Perelman từng được trao huy chương Fields, giải thưởng danh giá nhất trong lĩnh vực toán học, từ Liên minh Toán học Quốc tế.

Vào thời điểm đó, Perelman phát biểu: "Tôi không hứng thú với tiền bạc hay danh vọng. Tôi không muốn bị trưng bày như động vật trong sở thú. Tôi không phải là một anh hùng toán học. Đó là lý do tại sao tôi không muốn mọi người nhìn mình". Ông từ chối nhận giải và cũng không tới dự buổi lễ.