Kurt Gödel và Định lí bất toàn

Theo kết quả bình chọn của tờ báo danh tiếng TIMES vào cuối thế kỷ trước, thì trong số 20 nhà khoa học được bình chọn vào số những bộ óc vĩ đại có những phát minh nhiều ảnh hưởng nhất trong thế kỷ 20 có hai nhà toán học là Alan Turing và Kurt Gödel.

Như ta đã biết, nếu A.Turing được mệnh danh là "người cha của máy tính điện tử", tác giả của "máy Turing", mô hình toán học của các máy tính điện tử hiện đại, mở đầu cho một thời đại bùng nổ của khoa học tính toán và xử lý thông tin, của trí tuệ nhân tạo,..., góp phần làm thay đổi diện mạo của văn minh nhân loại từ giữa thế kỷ 20 đến nay; thì K.Gödel nổi tiếng với các định lý về tính không đầy đủ và không tự chứng minh được tính nhất quán của các hệ toán học hình thức hóa vào đầu thập niên 1930 đã làm xáo động nền tảng của toán học, lật nhào hy vọng của cả một thế hệ toán học về việc xây dựng một nền tảng vững chắc và vĩnh viễn cho toán học, đồng thời cũng mở ra một tư duy mới cho lô gích và toán học, gây ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển tư duy triết học và khoa học trong suốt thế kỷ 20.

Kurt Gödel sinh ngày 28 tháng 4 năm 1906 tại thành phố Brünn thuộc đế quốc Áo-Hung, ngày nay là Brno thuộc Cộng hoà Séc. Khi đế quốc Áo-Hung tan rã sau Chiến tranh thế giới lần thứ nhất, ở tuổi 12, Gödel trở thành công dân của nước Tiệp Khắc, và sau đó khi ở tuổi 23 ông trở thành công dân Áo. Khi A. Hitler xâm chiếm Áo năm 1938, ông tự động mang quốc tịch Đức ở tuổi 32. Cũng vào năm đó ông lập gia đình với Adele Nimbursky, và rồi để tránh gia nhập quân đội Đức, vào tháng Giêng năm 1940 ông cùng vợ rời Châu Âu đi sang Mỹ theo đường tàu hỏa xuyên Xi-bê-ri (Liên Xô) và Nhật Bản (trước đó ông đã sang Mỹ mấy lần vào các năm 1933-1938). Đến Mỹ lần này, Gödel được nhận một vị trí làm việc tại Viện nghiên cứu tiên tiến (Institute for Advanced Study-IAS) ở Princeton. Ông trở thành một thành viên thường trực của Viện vào năm 1946, và là giáo sư chính thức của Viện từ năm 1953. Tại đây, ông được tặng giải thưởng Einstein đầu tiên vào năm 1951, và Huân chương quốc gia về khoa học năm 1974. Vào những năm cuối đời, tình hình sức khỏe của Gödel không tốt. Ông bị bệnh hoang tưởng, luôn nghi hoặc là có người âm mưu đầu độc mình. Ông không chịu ăn uống gì, ngoại trừ các thức ăn do đích thân vợ ông làm cho. Rồi đến cuối năm 1977, chính vợ ông cũng bị ốm, không còn khả năng chuẩn bị thức ăn cho ông nữa, ông đã từ chối bất kỳ thức ăn gì được đưa đến, và ông đã bị chết đói vào ngày 14 tháng Giêng năm 1978.

Cuộc đời khoa học của Kurt Gödel được bắt đầu khá sớm. Từ những năm học trung học ở Brno, quê nhà, Gödel đã tỏ ra có năng khiếu về các môn lịch sử và toán học. Năm 18 tuổi, Gödel theo anh trai của mình sang Viên (Áo) và được nhập học tại trường Đại học Viên, vào thời gian đó ông đã nắm vững các kiến thức về Toán ở trình độ Đại học. Lúc đầu ông có dự định học Vật lý lý thuyết, nhưng vẫn theo đầy đủ các bài giảng về toán học và triết học. Ông đọc Cơ sở siêu hình của khoa học tự nhiên (Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft) của Kant, tham gia vào nhóm thành Viên với các nhà khoa học nổi tiếng như Moritz Schlick, Hans Hahn, Rudolf Carnap... Ông nghiên cứu lý thuyết số, nhưng sau khi tham gia một xêmine của Moritz Schlick nghiên cứu sách của Bertrand Russell về triết học toán học, ông chuyển niềm say mê của mình sang lôgich toán. Một sự kiện có tác động lớn định hướng cuộc đời khoa học của Gödel vào thời gian đó là việc ông dự nghe bài giảng của nhà toán học vĩ đại David Hilbert ở Bologna về tính đầy đủ và tính nhất quán của các hệ thống toán học. Ngay sau đó, vào năm 1930, ông đã hoàn thành luận án tiến sĩ với công trình chứng minh tính đầy đủ của toán lôgich tân từ cấp một1 dưới sự hướng dẫn của Hans Hahn. Và một năm sau, 1931, Gödel công bố công trình chứa các định lý quan trọng và nổi tiếng nhất của đời mình, có nội dung là: đối với các hệ thống toán học hình thức hóa với một hệ tiên đề tính được đủ mạnh để mô tả số học các số tự nhiên, thì:

1. Hệ thống không có thể vừa là nhất quán, vừa là đầy đủ (thường được biết dưới tên gọi "Định lý về tính không đầy đủ"- incompleteness theorem);

2. Tính nhất quán của hệ tiên đề không thể được chứng minh bên trong hệ thống đó.

Để tìm hiểu ý nghĩa và tác động của các định lý đó đối với sự phát triển của cơ sở toán học trong thế kỷ 20, ta lược qua vài nét tình hình phát triển đó trong cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Ta biết thế kỷ 19 đã là một thế kỷ phát triển khá rực rỡ của toán học, nhưng đồng thời toán học cũng đã lâm sâu vào một thời kỳ "khủng hoảng" về cơ sở: trong khi giải tích toán học và nhiều ngành liên quan đạt được nhiều kết quả phong phú và sâu sắc, thì cơ sở của các ngành toán học lại gần như trống rỗng, thậm chí đối với nhiều khái niệm nền móng như thế nào là số thực, là giới hạn, là liên tục,... cũng chưa có được những định nghĩa thỏa đáng. Vào những năm đó, David Hilbert đã bắt đầu quan tâm đến việc tìm cơ sở cho toán học. Dựa trên công trình Cơ sở của Euclid, ông đã xây dựng, bổ sung và hoàn chỉnh một hệ tiên đề trọn vẹn cho Hình học, và đề xuất việc xây dựng hệ tiên đề cho các lý thuyết toán học. Một yêu cầu cơ bản đối với các hệ tiên đề là tính nhất quán của hệ đó. Để chứng minh tính nhất quán thì có một phương pháp chung là qui dẫn tính nhất quán của một hệ này (S) về tính nhất quán của một hệ khác (S’) bằng cách tìm trong lý thuyết S’ một mô hình cho S (do đó, nếu S’ nhất quán thì S cũng nhất quán), thí dụ tính nhất quán của hệ tiên đề hình học Lobachevski có thể qui dẫn về tính nhất quán của hệ tiên đề hình học Euclid, đến lượt mình, tính nhất quán của hệ này lại có thể qui dẫn về tính nhất quán của số học. Nhưng con đường qui dẫn rồi cũng cần có điểm dừng. Và vì vậy, năm 1900 ở Paris, tại Đại hội Toán học quốc tế lần thứ hai, trong bài phát biểu đề xuất 23 bài toán nổi tiếng cho toán học thế kỷ 20, Hilbert đã đặt bài toán về Sự tương thích của các tiên đề số học, tức cũng là sự nhất quán của hệ tiên đề số học, vào vị trí bài toán số 2. Nhiều năm sau đó, Hilbert đã nghiên cứu, và đến năm 1921 đã đề xuất một cách giải trực tiếp bài toán đó mà không viện đến phương pháp qui dẫn nói trên, đề xuất này về sau được gọi là chương trình Hilbert, bao gồm việc hình thức hoá hệ tiên đề số học, biến việc làm toán trong một hệ tiên đề hóa thành một kỹ thuật chuyển đổi đơn thuần các dãy hữu hạn các ký hiệu hình thức theo một số qui tắc định trước, và chuyển việc nghiên cứu các hệ toán học hình thức hóa vào trong một siêu toán làm việc với các dãy hữu hạn ký hiệu hình thức đó. Để tránh những công kích của trường phái trực giác (intituitionism) đối với cơ sở toán học, Hilbert đề nghị phát triển một siêu toán hoàn toàn nằm trong khuôn khổ của "hữu hạn luận" (finitism), và trong một siêu toán như vậy, tính nhất quán của số học hình thức hóa S được hiểu là “không thể suy diễn từ hệ hình thức S hai công thức A và /A“ (/A là phủ định của A). Như vậy, chương trình Hilbert đã mở ra một con đường để chứng minh tính nhất quán của số học hình thức hóa nói riêng, và của toán học hình thức hóa nói chung, giải quyết một vấn đề rất cơ bản của toán học. Trong thập niên 1920, cùng với Hilbert, nhiều nhà toán học lỗi lạc như Bernays, Ackermann, John von Neumann,... đã thử thực hiện chương trình Hilbert, và có lúc tưởng như đã thành công. Rồi đến năm 1931, Gödel đã làm vỡ mộng của cả một thế hệ toán học khi công bố hai định lý về tính không đầy đủ của mình, vì theo các định lý đó, số học hình thức hóa, nếu nhất quán thì không đầy đủ và không tự chứng minh được tính nhất quán của mình! Các định lý Gödel đã làm thất bại chương trình Hilbert, đưa đến sự vỡ mộng, đồng thời cũng là một sự thức tỉnh: không thể đi tìm tính chân lý của toán học (và của khoa học nói chung) bên trong cấu trúc duy lý của bản thân toán học hay của khoa học đó; cái đúng của toán học phải tìm ngoài toán học; cái cảm giác vỡ mộng và thức tỉnh đó không chỉ đến với các nhà toán học thế hệ Gödel, mà cũng còn đến với bất kỳ ai về sau khi học tập và nghiên cứu về cơ sở toán học.

Sau các định lý nổi tiếng đó, Gödel vẫn tiếp tục các nghiên cứu về cơ sở toán học, đặc biệt là trong thời gian làm việc tại Princeton. Năm 1940, ông công bố một công trình có ý nghĩa rất quan trọng đối với lý thuyết Cantor về tập hợp, đó là việc chứng minh tính nhất quán của giả thuyết liên tục và của tiên đề chọn với các tiên đề của lý thuyết tập hợp3, cho lời giải mỹ mãn đối với bài toán số 1 trong số 23 bài toán do Hilbert đề xuất năm 1900. Cùng với thành tựu quan trọng đó, trong những năm còn lại ở Princeton, Gödel tiếp tục dành sự quan tâm của mình cho triết học và vật lý, và cũng đã có một số kết quả xuất sắc.
Tất nhiên là ngày nay, khi nói đến cống hiến của Gödel đối với lôgích và toán học nói riêng, đối với khoa học nói chung, người ta thường kể đến các định lý về tính không đầy đủ của toán học hình thức hóa và những tác động trực tiếp của chúng đối với chương trình Hilbert. Các định lý Gödel đã làm lung lay nền tảng duy lý độc tôn trong toán học và khoa học nói chung, và từ đó đã mở đường cho những hướng tư duy mới trong phát triển toán học và khoa học, như các hướng chấp nhận các lôgích đối nhất quán (paraconsistent logíc), các nghịch lý hoặc các "mâu thuẫn đúng" trong các lý thuyết toán học và khoa học, đặc biệt từ những thập niên cuối thế kỷ 20 đến nay. Con đường phát triển khoa học nói chung, toán học nói riêng, đang còn rộng mở. Chúng ta tin tưởng rằng, các công trình đầy chất trí tuệ và giàu khả năng đổi mới tư duy của Kurt Gödel sẽ còn tiếp tục cho ta những cống hiến xuất sắc mới trên con đường phát triển của tương lai.

Định lí Bất toàn (Theorem of Incompleteness): Giới hạn của nhận thức

Khoa học đang đứng trước hàng loạt câu hỏi thách thức:

-Liệu có thể có một “Lý thuyết về mọi thứ” của vật lý không?
-Robots có thể thông minh như con người không?
-Bản chất vật chất của tinh thần là gì?
-Máy móc có thể thay thế con người trong dịch thuật không?
-Giả thuyết Goldbach là một tiên đề hay một định lý?
-Vũ trụ trước Big Bang là gì?
-Tồn tại chăng một lý thuyết dự báo tương lai chính xác?

Và rất nhiều câu hỏi khác nữa. Mỗi câu hỏi là một thách đố lớn chưa từng có – một “Chiếc Chén Thánh” (The Holy Grail)[1] của khoa học, mà câu trả lời thường dẫn tới sự chia rẽ quan điểm, một bên nói “có”, một bên “không”. Chưa bao giờ khoa học bị rơi vào tình trạng ngã ba đường như hiện nay. Dường như dự cảm được điều đó nên từ lâu Kurt Gödel đã lưu ý: “Ý nghĩa của cuộc sống là ở chỗ biết phân biệt Ước Muốn với Hiện Thực”[2].

Những ai biết rõ lịch sử toán học thế kỷ 20 đều hiểu ngay rằng Gödel ngụ ý nhắc nhở nhân loại không được phép quên bài học thất bại cay đắng của Chương trình Hilbert – một chương trình có tham vọng khám phá ra “Lý thuyết về mọi thứ” của toán học, tức là không hiểu nguyên lý giới hạn của nhận thức mà truyện ngụ ngôn “Thầy Bói Xem Voi” đã nói từ xa xưa.
Thậm chí đến khi Gödel công bố Định lý bất toàn (Theorem of Incompleteness), khẳng định nguyên lý giới hạn của nhận thức dưới dạng toán học, vẫn có nhiều người không muốn thừa nhận nguyên lý này. Đó là lý do để nhiều nhà triết học khoa học Tây phương hiện nay thích nhắc lại tích “Thầy Bói Xem Voi”, như một gợi ý để từ đó đề cập tới Định lý bất toàn nói riêng và vấn đề giới hạn của nhận thức nói chung.
1] “Thầy Bói Xem Voi”:

“Thầy Bói Xem Voi” là một truyện ngụ ngôn bằng thơ nhan đề “The Blind Men and the Elephant” (Những anh mù và con Voi), hoặc “Six Men of Indostan” (Sáu anh chàng ở xứ Indostan[4]), của John Godfrey Saxe, một nhà thơ triết lý nổi tiếng người Mỹ thế kỷ 19. Nhưng thực ra tích “Thầy Bói Xem Voi” “đã được ghi chép từ xa xưa trong Kinh Đại Bát Niết Bàn 大般涅槃经 do ngài Đàm Vô Sấm 昙无谶 (Dharmaraksa), pháp sư người Ấn, dịch ra Hoa ngữ , đồng thời cũng đã được ghi chép trong Kinh Trường A Hàm của Phật Giáo”[5].

Thầy Bói Xem Voi (Sáu anh mù ở xứ Indostan) John Godfrey Saxe (1816 – 1887) Sáu anh mù ở xứ In-đốt-xtan nóng bỏng Rủ nhau đi xem Voi Vì rất ham hiểu biết Nên thi nhau quan sát Cho thoả nỗi khát mong Đầu tiên là anh Nhất Sờ tấm thân vừa rộng, Vừa cứng ráp, vừa thô Miệng oang oang tuyên bố: “Con Voi, ôi lạy Chúa! Giống bức tường y chang” Tiếp đến là anh Nhị, Sờ ngà Voi, nói lớn: “Tròn, nhọn, lại mịn trơn? Kỳ quan này rõ thấy, Rằng Voi như ngọn giáo, Đó mới thật là Voi!” Anh Tam bèn tiến đến Tay ôm vòi uốn éo, Ngẫm nghĩ và luận suy, Rồi tự tin anh nói: “Con Voi như tôi thấy Giống con rắn, con trăn” Đôi bàn tay anh Tứ Sờ vào chân, háo hức, “Kỳ lạ nhất của Voi, Như ta vừa nhận thấy, Một thân cây thẳng đứng, Mới giống hình con Voi!” Rồi đến phiên anh Ngũ, Sờ tai Voi, tuyên bố: “Mù nhất chính là ta, Nhưng nào ai dám cãi, Rằng Voi như quạt giấy, Phe phẩy, phẩy gió bay!”! Cuối cùng là anh Lục, Dò dẫm, anh vội túm Chỗ ve vẩy cái đuôi, Cảm nhận, thốt lên lời: “Voi như ta đã thấy Giống y chiếc dây thừng!” Thế là sáu anh mù Cãi vã nhau ỏm tỏi , Ai cũng cho mình giỏi, Anh nào cũng hung hăng. Mỗi anh đúng một phần, Nhưng đều sai tất cả!

The Blind Men and the Elephant (Six Men of Indostan) John Godfrey Saxe (1816 – 1887) It was six men of Indostan To learning much inclined, Who went to see the Elephant Though all of them were blind That each by observation Might satisfy his mind. The First approached the Elephant And happening to fall Against his broad and sturdy side At once began to bawl: “God bless me! But the Elelephant Is very like a wall” The Second, feeling of the tusk, Cried, “Ho! What have we here So very round & smooth & sharp? To me ‘tis mighty clear This wonder of an Elephant Is very like a spear!” The Third approached the animal, And happening to take The squirming trunk within his hands, Thus boldly up and spake: “I see”, quoth he, “the Elephant Is very like a snake!” The Fourth reached out an eager hand, And felt about the knee. “What most this wondrous beast is like Is mighty plain”, quoth he; “ ‘Tis clear enough the Elephant Is very like a tree!” The Fifth who chanced to touch the ear, Said: “E’en the blindest man Can tell what this resembles most: Deny the fact who can, This marvel of an Elephant Is very like a fan!” The Sixth the sooner had begun About the beast to grope, Than, seizing on the swinging tail That fell within his scope , “I see”, qouth he, “the Elephant Is very like a rope!” And so these men of Indostan Disputed loud and long, Each in his own opinion Exceeding stiff and strong, Though each was partly in the right And all were in the wrong!

Ý tưởng của John Saxe thật dễ hiểu: Nhận thức của con người vốn phiến diện và bị giới hạn – nhận thức dù tiến bộ đến mấy cũng chỉ đúng một phần chứ không bao giờ đầy đủ và hoàn thiện.
Nhưng phỏng có ích gì khi nhắc lại triết lý giới hạn của nhận thức trong thời buổi khoa học đang tăng trưởng với tốc độ hàm mũ như hiện nay? Phải chăng đó là một nghịch lý? Sau đây sẽ là câu trả lời.
2] Nghịch lý lớn về nhận thức:
Điều bất ngờ thú vị cần thông báo ngay với độc giả là tích “Thầy Bói Xem Voi” – một chuyện tưởng như đã “biết rồi, khổ lắm, nói mãi” – lại đã và đang tái xuất hiện trên các diễn đàn khoa học tây phương hiện đại với một tầm vóc và bình diện mới! Thật vậy, dưới ánh sáng của những sự kiện khoa học trọng đại nhất trong thế kỷ 20, đặc biệt nhờ những tiến bộ vượt bậc của khoa học computer trong mấy thập kỷ qua, nhân loại đã và đang tái khám phá ra nguyên lý về bản chất giới hạn của nhận thức – một nguyên lý tự nhiên mà tích “Thầy Bói Xem Voi” đã nói từ lâu nhưng dần dần bị lãng quên! Nguyên lý này khẳng định rằng NHẬN THỨC, mặc dù mỗi ngày một tiến hoá, nhưng không bao giờ đạt tới chỗ BIẾT HẾT, BIẾT MỌI THỨ, BIẾT ĐẦY ĐỦ, BIẾT TẬN CÙNG …
Tham vọng biết mọi thứ, xét cho cùng, là … “ngây thơ” – không hiểu hoặc không muốn hiểu một quy luật của nhận thức mà John Saxe đã trình bầy từ lâu dưới dạng thơ ngụ ngôn!
Sự “ngây thơ” đó đáng được thông cảm: Khi khát vọng nhận thức bùng cháy mãnh liệt, con người có xu hướng muốn biết hết, biết tới tận cùng! Đó là một khát vọng chính đáng, tự nhiên theo bản năng, và nhờ đó con người mới khám phá hết bí mật này đến bí mật khác. Đó chính là động lực của tiến hoá. Nếu khát vọng đó đôi khi (hoặc nhiều khi) trở nên thái quá, chẳng qua con người sinh ra vốn bản chất đã hướng ngoại, thích quan sát các đối tượng khách thể bên ngoài hơn là quan sát chính chủ thể nhận thức. Trẻ em thể hiện rất rõ điều này. Một em bé 6 tháng sẽ tuyệt đối không có “ý thức về bản ngã”, nhưng đã có thể có những nhận thức nhất định về thế giới xung quanh. Ý thức hướng nội chỉ tới khi con người trưởng thành hơn. Quá trình trưởng thành về nhận thức của một đời người chính là tấm gương phản chiếu quá trình trưởng thành về nhận thức của toàn thể loài người. Đó chính là lý do để khoa học về nhận thức ra đời quá muộn màng: Trong khi các khoa học khác đã có tới hàng ngàn hoặc hàng trăm năm tuổi, khoa học về nhận thức dường như mới ra đời gần đây. Nói cách khác: Trong khi nền văn minh của nhân loại đã trưởng thành và già dặn qua hàng ngàn năm lịch sử, con người dường như vẫn còn quá ngây thơ trong việc tự hiểu biết mình.
Nhưng hơn bất kỳ một giai đoạn lịch sử nào khác, thế kỷ 20 đã làm cho con người bừng tỉnh: Song song với nhận thức hướng ngoại, con người đã đặc biệt quan tâm tới chính chủ thể nhận thức – nghiên cứu bản chất của nhận thức như nghiên cứu bất kỳ một đối tượng khách quan nào khác!
Nhưng tại sao lại là thế kỷ 20, thay vì thế kỷ 19 hay 21?
Đơn giản vì nhận thức đã phải trả giá rất đắt để hiểu được 3 bài học tưởng như không sao hiểu được trong thế kỷ 20: Thuyết Tương Đối của Einstein + Nguyên Lý Bất Định của Heisenberg + Bài học về cuộc khủng hoảng trầm trọng trong nền tảng Toán Học đầu thế kỷ 20.
Thuyết Tương Đối phải mất vài năm rồi nhân loại mới hiểu.
Nguyên Lý Bất Định cũng phải mất vài chục năm: Ra đời từ 1921 nhưng chưa bao giờ được nhà vật lý lớn nhất thế kỷ 20 là Einstein công nhận, ngay cả trước khi ông mất năm 1955.
Nhưng sự trả giá cho bài học thứ ba còn đắt hơn rất nhiều: Phải mất gần một thế kỷ, tức là đến cuối thế kỷ 20, nhân loại mới bắt đầu hiểu được lý do thực sự của cuộc khủng hoảng Toán Học đầu thế kỷ này. Hơn bất kỳ một bài học nào khác, bài học thứ ba này để lộ giới hạn của nhận thức.
Nếu chọn ngẫu nhiên 100 nhà khoa học và giáo dục để phỏng vấn, có lẽ 100% biết rõ bài học thứ nhất (Thuyết Tương Đối), 75% (hoặc 50%?) biết rõ bài học thứ hai (Nguyên Lý Bất Định), nhưng sẽ có bao nhiêu % biết rõ bài học thứ ba (cuộc khủng hoảng về nhận thức bản chất Toán Học)? Tôi ngờ rằng tỷ lệ này rất thấp, vì thông qua phương pháp giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông hiện nay, tôi thấy người ta đã hiểu sai bản chất và ý nghĩa của Toán Học, từ đó suy ra rằng người ta không học được bài học nào từ cuộc khủng hoảng nói trên. Bằng chứng?
Vâng, sẽ có bằng chứng, nhưng xin để dành cho bài viết kỳ sau. Bây giờ là lúc cần quay lại tích “Thầy Bói Xem Voi”, vì chính sự trả giá về nhận thức trong thế kỷ 20 đã làm cho nhân loại bừng tỉnh để “ngộ” ra triết lý sâu xa của truyện ngụ ngôn này: Nhận thức, bản thân nó chứa đựng một NGHỊCH LÝ LỚN – Khát vọng vô hạn về nhận thức mâu thuẫn với bản chất giới hạn của nhận thức!

“Làm thế nào để một bộ phận có thể nhận thức được cái toàn thể?” (How can a part know the whole?), đó chính là nỗi băn khoăn từ thế kỷ 17 của Blaise Pascal – một trong những nhà khoa học và triết học sâu sắc nhất của mọi thời đại.

Một người như Pascal có lẽ có thừa óc tưởng tượng và suy luận để hình dung ra cái tổng thể mà ông khao khát muốn biểt, nhưng dường như cái đầu triết học quá sâu sắc của ông lại khuyên ông nên thận trọng. Phải chăng vì thế mà ông băn khoăn?
Trong thời đại của chúng ta, nỗi băn khoăn của Pascal vẫn mang tính thời sự. Thật vậy, dù khoa học tiến bộ đến mấy, kính viễn vọng có thể nhìn xa đến mấy, kính hiển vi điện tử có thể nhìn sâu đến mấy, cũng chẳng bao giờ nhìn thấy cái tổng thể. Khoa học chỉ suy đoán ra cái tổng thể dựa trên những quan sát bộ phận, rồi lại dùng những quan sát bộ phận để tái kiểm chứng cái mô hình tổng thể đã suy đoán. Dù cho suy đoán dựa trên những phương pháp toán học chính xác bậc nhất, nó vẫn chỉ là kết quả của suy đoán, và do đó nó luôn luôn bị thử thách nghiệt ngã bởi thực tiễn. Thực tiễn luôn luôn là ông thầy chỉ ra lỗi trong các mô hình của con người, buộc con người phải sửa chữa mô hình của mình để phù hợp với hiện thực hơn. Nhưng dù sửa chữa phù hợp đến mấy đi chăng nữa thì cũng chỉ là phù hợp với hiện thực cục bộ có thể quan sát được, thay vì chính cái hiện thực tổng thể tồn tại khách quan, độc lập với mọi suy luận và quan sát của con người.
Chẳng hạn có một thời, Mô Hình Vũ Trụ dựa trên Cơ Học Newton đã thống trị “tuyệt đối” trong tâm thức các nhà khoa học, đến nỗi Joseph Louis Lagrange, nhà toán học lỗi lạc người Pháp trong thế kỷ 18, đã phải thốt lên lời buồn phiền rằng “Newton đã tìm ra hết mọi bí mật rồi, chẳng còn gì lớn cho chúng ta làm nữa”. Nhưng may thay, Albert Einstein đã chứng minh rằng Lagrange sai!
Một số học giả tây phương hiện đại cho rằng nhận thức là một hàm tăng theo thời gian, nhưng không tăng tới vô cùng, mà bị chặn trên bởi một tiệm cận ngang – một cái ngưỡng (threshold): Hàm nhận thức ngày càng tiệm cận tới cái ngưỡng đó nhưng không bao giờ chạm tới và vượt qua!

Thậm chí một số còn cho rằng khoa học ngày nay đã tiến gần đến cái ngưỡng đó. Thời gian sẽ trả lời nhận định này đúng hay sai.

Tuy nhiên, sự tồn tại của một cái ngưỡng là có thật, ít nhất điều này đã được chứng minh trong Toán Học và trong Khoa Học Computer: Đó là “Định Lý Bất Toàn” (Theorem of Incompleteness) của Kurt Godel và “Sự Cố Dừng” (The Halting Problem) của Alan Turing.
Cái ngưỡng đó làm cho một số người nản lòng, thậm chí cảm thấy khó chịu, vì không thể chấp nhận một cái ngưỡng ngáng trở nhận thức. Xin nói ngay rằng những người đó đã hiểu lầm: Chính cái ngưỡng đó làm cho cuộc sống của chúng ta có ý nghĩa hơn, hạnh phúc hơn, và khoa học sẽ đâm chồi nẩy lộc nhiều hơn, đơm hoa kết trái nhiều hơn!
Thật vậy, vì nhận thức có giới hạn, nó không bao giờ đạt tới đích cuối cùng, vì thế khát vọng khám phá sẽ được nuôi dưỡng mãi mãi, niềm vui khám phá sẽ không bao giờ cạn, trí tưởng tượng của con người sẽ tha hồ bay bổng, … điều này làm nên một trong những ý nghĩa căn bản của cuộc sống.
Immanuel Kant vĩ đại từng nói: “Mỗi câu trả lời lại đặt ra một câu hỏi mới”. Bạn nghĩ sao nếu chúng ta tìm ra một câu trả lời cho mọi thứ để rồi không còn gì đáng hỏi nữa? Cuộc sống khi đó sẽ ra sao? Nhưng chính vì không bao giờ có một câu trả lời cuối cùng nên con người tha hồ tưởng tượng để tìm câu trả lời cho những gì mình chưa biết. Nhà toán học kiêm triết học nổi tiếng Bertrand Russell đã an ủi những người lo xa: “Khoa học có thể tạo ra giới hạn đối với sự hiểu biết, nhưng không tạo ra giới hạn đối với trí tưởng tượng”[6].
Nói cách khác, Bà Mẹ Tự Nhiên (The Mother Nature) không bao giờ mở cánh cửa bí mật cuối cùng cho chúng ta, mà luôn để dành những bí mật tiếp theo cho chúng ta khám phá, nhằm nuôi dưỡng chúng ta không chỉ phần xác, mà cả phần hồn!
Bí mật của Tự Nhiên giống như “Chiếc Hộp Trung Hoa” (Chinese Box) hoặc những con búp-bê Matryoshka của Nga – mỗi lần mở ra lại thấy một chiếc hộp bên trong (một con búp-bê bên trong). Mỗi chúng ta đều giống như một đứa trẻ tò mò, trông thấy chiếc hộp bên trong lại muốn mở ra xem, và lại thấy một chiếc hộp bên trong nữa. Albert Einstein chính là một đứa trẻ điển hình như thế, ông nói: “Cái đẹp nhất mà chúng ta có thể chiêm nghiệm chính là sự BÍ ẨN. Đó là ngọn nguồn của nghệ thuật và khoa học chân chính”[7].
Vậy thay vì chống đối nguyên lý giới hạn của nhận thức, chúng ta nên cảm ơn nó, vì nhờ nó chúng ta luôn sống với những khát vọng lãng mạn!
Nhưng cần phải tỉnh táo, vì nếu tham vọng nhận thức trở thành vô chừng vô độ, bất chấp giới hạn thì đó lại là một vấn đề hoàn toàn khác!
3] Khi tham vọng trở nên vô chừng vô độ:
Khi đó, nhận thức có nguy cơ rơi vào không tưởng, lầm đường lạc lối, thay vì tiến lên, nhận thức trở thành một cái vòng luẩn quẩn, hoặc thậm chí thụt lùi.
Lịch sử đã từng chứng kiến phản ứng của những người nhìn xa trông rộng trước những kiểu tham vọng vô chừng vô độ như thế. Một trong những trường hợp đáng để cho chúng ta phải suy ngẫm nghiêm túc lại là Albert Einstein. Bạn nghĩ sao khi một người như Einstein – một người có khát vọng hiểu biết cháy bỏng hơn ai hết, một đứa trẻ từng say đắm Hình Học Euclid như một kỳ quan, một nhà vật lý cần toán học như chúng ta cần không khí và nước – đã có lúc phải thốt lên:
“Tôi không tin vào Toán Học”[8]!
Thoạt nghe, có vẻ như đó là một chuyện bịa đặt, nhưng than ôi, đó lại là một sự thật! Xin bạn hãy bình tâm tìm hiểu sự thật này, và tôi tin rằng bạn sẽ hết ngạc nhiên nếu biết rõ rằng ấy là lúc Einstein phản ứng với những thứ toán học sáo rỗng, hình thức chủ nghĩa, toán học siêu hình (meta-mathematics), toán học tách rời thực tiễn, toán học thuần tuý suy diễn logic mà không đếm xỉa đến ý nghĩa thực tế.
Bạn sẽ dễ dàng thông cảm với Einstein nếu biết rõ rằng thứ toán học siêu hình đó đã ra đời từ một tham vọng vô chừng vô độ và không tưởng của một số nhà toán học cùng thời với ông. Những người này tin rằng tồn tại những chân lý logic hình thức tuyệt đối, độc lập với thế giới hiện thực xung quanh, và tin rằng với những phương pháp nghiên cứu đúng đắn, trước sau họ cũng sẽ tìm ra những chân lý tuyệt đối đó.
Nhưng Einstein, với trực giác siêu việt, ngay từ đầu đã không tin họ, không tin vào tham vọng ngông cuồng của họ, không tin vào hệ thống toán học thuần lý bất chấp thực tiễn của họ, và lịch sử đã đứng về phía Einstein!
Chẳng riêng Einstein, một vĩ nhân khác mà tài năng chẳng kém gì Einstein là Henri Poincaré, người được coi là Mozart của Toán Học, cũng chống đối quyết liệt thứ toán học sính hình thức đó.
Nhưng than ôi! Sức ỳ của bộ não cũng “vĩ đại” chẳng kém gì sức sáng tạo của nó: Bất chấp những người như Einstein và Poincaré, tư tưởng sính hình thức trong giới toán học, và đặc biệt trong giới giảng dạy toán học, vẫn cứ tiếp tục sống dai dẳng cho đến tận hôm nay.
Nếu đọc giả để ý quan sát, sẽ chẳng mấy khó khăn để nhận thấy bóng dáng những loại toán học này trong hệ thống giáo dục hiện nay. Đó là hậu quả tàn dư của thứ toán học hình thức mà Einstein và Poincaré chán ghét. Đó là lý do để nhiều học giả trên thế giới ngày nay phải lên tiếng cảnh báo: Hãy tỉnh táo để nhận thức nguyên lý giới hạn của nhận thức!
Trong bối cảnh đó, tích “Thầy Bói Xem Voi” tất yếu mang ý nghĩa thời sự và được làm sống lại một cách sinh động dưới nhiều hình thức, điển hình là những “mô hình bất khả” (Impossible Models), hay những “cấu trúc phi lý” (Inconsistent Structures).
4] Mô Hình Bất Khả:
Điển hình của những mô hình này là Tam Giác Penrose hoặc Bậc Thang Penrose của Sir Roger Penrose, một trong những nhà vật-lý-toán-học lớn nhất ngày nay. Ông có những đóng góp vô cùng đa dạng trong vật lý và toán học, đoạt rất nhiều giải thưởng danh giá bậc nhất về vật lý và toán. Cùng với Stephen Hawking, ông được coi là một trong những tác giả của Lý thuyết về hốc đen, như Wikipedia nhận định: “Công trình sâu sắc của ông về tính Tương Đối Tổng Quát đóng vai trò chủ yếu trong nhận thức của chúng ta về các hốc đen”. Nhưng khác với Stephen Hawking, ông không mấy tin tưởng vào khả năng “Hiểu được ý Chúa” của Einstein trước đây và của Hawking hiện nay. Bản thân những “mô hình bất khả” của ông đã nói lên điều đó.
Ngắm kỹ hai mô hình trên, dễ nhận thấy chúng chỉ “khả dĩ” (possible) hoặc “hợp lý” (consistent) trong từng cục bộ (local part), nhưng “bất khả” (impossible) hoặc “phi lý” (inconsistent) trên tổng thể (the whole), đúng như triết lý của “Thầy Bói Xem Voi”: Mỗi anh đúng một phần, Nhưng đều sai tất cả!
Tuy nhiên sẽ là bất công nếu gán cho các nhà khoa học công lao sáng tạo ra những “mô hình bất khả”. Chính các hoạ sĩ mới là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này. Hãy ngắm bức tranh sau đây:
Đó là cấu trúc “Cầu thang bất khả” (Impossible Staircase) cuả hoạ sĩ Thụy Điển Oscar Reutersvard (1915-2002) được vẽ từ nửa đầu thế kỷ 20! Với hàng trăm mô hình tương tự, Reutersvard được coi là cha đẻ của ngành “hội hoạ ảo ảnh” (Illusionary Art), và chính hội hoạ đó đã tạo cảm hứng cho Penrose sáng tạo ra những mô hình của mình.
Tuy nhiên phải thừa nhận rằng, từ khi những nhà khoa học lớn như Penrose sử dụng các mô hình bất khả để nói lên nguyên lý bất khả trong việc nhận thức CÁI TOÀN BỘ, thì nguyên lý này mới được nhìn nhận một cách thực sự nghiêm túc, không chỉ dưới hình thức văn chương, nghệ thuật, hoặc triết học, mà ngay cả trong lĩnh vực khoa học và công nghệ. Điều này rất có lợi cho cuộc sống, vì nó hướng khoa học vào những công trình thực dụng hơn, thiết thực hơn. Sự chuyển hướng này bộc lộ rất rõ trong những Giải Nobel khoa học từ cuối thế kỷ 20 tới nay (trước đây thường dành cho những đề tài thuần tuý lý thuyết).
Tóm lại, đã có một sự bừng tỉnh về nhận thức đối với triết lý “Thầy Bói Xem Voi”. Để cảm nhận được điều đó, bạn chỉ cần ngồi vào computer rồi gõ “impossible models”, hoặc “artistic illusions”, “inconsistent art”, v.v. bạn sẽ có hàng trăm, hàng nghìn mô hình “bất khả” kỳ lạ khác nhau, trong đó rất nhiều mô hình vừa được công bố chỉ vài ngày trước khi bài báo này đến tay bạn. Điều đó nói lên rằng chủ đề này nóng hổi đến chừng nào.
Tuy nhiên, nếu bạn thật sự muốn biết các nhà khoa học và giáo dục ngày nay nghĩ gì về triết lý “Thầy Bói Xem Voi”, xin bạn hãy đọc ngay một cuốn “best-seller” của năm 1998: “What is Mathematics, Really?” (Thực ra Toán Học là gì?) cuả Reuben Hersh, một nhà toán học rất nổi tiếng ở Mỹ, trong đó tác giả đã dẫn nguyên văn truyện Sáu anh mù ở xứ Indostan để nói về một “giấc mơ vĩ đại” của các nhà toán học trong thế kỷ 20 – Giấc mơ tìm thấy “Con Voi Toán Học”!
5] Thay lời kết:
Câu chuyện về giấc mơ tìm kiếm Con Voi Toán Học là một trong những chương có ý nghĩa nhất và quan trọng nhất trong lịch sử toán học – quan trọng đến nỗi nếu không biết gì về nó thì không những sẽ vô cùng thiệt thòi vì đã bỏ qua một trong những chương hay nhất, hấp dẫn nhất của lịch sử khoa học, mà còn có nguy cơ bị thiếu hụt một bài học vô giá về khoa học nhận thức và khoa học giáo dục.
Sự thiếu hụt ấy sẽ dẫn tới hậu quả không hiểu rõ bản chất của toán học, và do đó sẽ áp dụng một phương pháp sai lầm trong giảng dạy toán học. Đó chính là điều Reuben Hersh muốn nói, và cũng là điều mà loạt bài viết về chủ đề “Thầy Bói Xem Voi” muốn nói.
Quả thật là đang tồn tại tình trạng hiểu sai bản chất toán học, và đó là lý do căn bản dẫn tới tình trạng “dạy giả” và “học giả” tràn lan: Chưa bao giờ tình trạng học sinh không hiểu Toán, đối phó với Toán, chán Toán, sợ Toán, … ngày càng trở nên phổ biến như hiện nay.
Công bằng mà nói, tình trạng này không chỉ xẩy ra tại Việt Nam, mà đã từng xẩy ra ở ngay tại một số quốc gia phát triển, khi những quốc gia này áp dụng một phương pháp dạy Toán mà họ tưởng là “mới”. Nhưng lịch sử giáo dục đã chứng minh rằng những phương pháp gọi là “mới” đó thực chất chỉ là sản phẩm của một tham vọng không tưởng – tham vọng tìm kiếm Con Voi Toán Học. Chính vì không tưởng nên nó đã đổ vỡ tan tành!
Tại sao một tham vọng đã đổ vỡ mà vẫn còn ảnh hưởng đến nền giáo dục hôm nay? Đó là một ẩn số cần được trả lời, và sẽ được trả lời trong bài kỳ sau: “Con Voi Toán Học & Chiếc Chén Thánh của Chủ Nghĩa Hình Thức”.

Phạm Việt Hưng

Hai ý tưởng của Sofia Kovalevskaya

"It is impossible to be a mathematician without being a poet in soul."
Sophie Kowalevski

Hai ý tưởng của Sofia Kovalevskaya

Ngày 22 tháng một năm 2009, Michèle Audin
Giáo sư đại học Strasbourg (trang cá nhân)

“Sofia Kovalevskaya” người đã xuất hiện trong những nhà toán học rất lớn của thời hiện đại, mất ở Stockholm ngày 10 tháng hai 1891, ở tuổi 41. Khi đó bà vừa nhận giải thưởng Bordin của Viện hàn lâm khoa học Paris ngày 24 tháng 12 năm 1888, do những đóng góp của bà về sự chuyển động của một hình khối xung quanh một điểm cố định. Bà là giáo sư ở đại học Stockholm.

Cauchy-Kovalevskaya

Nhà toán học với hai ý tưởng [1], bà đã bắt đầu sự nghiệp bằng việc tìm ra một phản ví dụ cho một định lý mà tất cả mọi người nghĩ là đúng, điều đó cho phép bà đưa ra một phát biểu tốt hơn, và sau đó chứng minh nó.

Định lý này, khẳng định sự tồn tại, dưới điều kiện nào đó, nghiệm giải tích của một hệ phương trình đạo hàm riêng, ngày này được biết dưới cái tên định lý Cauchy-Kovalevskaya --- các định lý về tính tồn tại và duy nhất của nghiệm, nói chung, luôn mang tên của Cauchy...

Ba bài báo, một luận án

Định lý Cauchy-Kovaleskaya, cộng với hai bài báo khác, một về tích phân abel, một về dạng của vành Saturne [2], đã làm nên nội dung luận án của bà, được bảo vệ ở Göttingen (bởi vì thầy của Sofia Kovalevskaya, Weierstrass, biết rất rõ rằng trường đại học này "tự do" hơn trường Berlin hay trường của ông [3]) năm 1874 và in abstentia ( cũng như việc trình bày với hơn 3 lần số dụng cụ (?? Nguyên văn de même que la présentation de trois fois plus de matériel que ses collègues ) so với đồng nghiệp ), sự bảo vệ trong sự vắng mặt của người nhận bằng có liên hệ với việc đây là một phụ nữ.

Hình khối

Ý tưởng thứ hai là cái đã đưa bà đến bài báo về hình khối và giải Bordin. Nó nói về một vấn đề cũ, giải hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động của một hình khối, với một điểm cố định, được đặt dưới tác động duy nhất của trọng lực.

Vào thế kỷ thứ 18, Euler đã giải quyết trường hợp điểm cố định là trọng tâm và Lagrange đã giải quyết trường hợp một hình khối với một trục tròn xoay (giống như con quay). Mặc dù lợi ích lâu dài của câu hỏi đã được chỉ ra bởi các nhà toán học, nhưng nó vẫn chưa có một sự tiến triển nào ở thế kỷ thứ 19.

Ta có thể đọc trong tiểu thuyết tiếng Anh xuất bản năm 1872, Middlemarch, của George Eliot :

Một cách ngắn gọn, phụ nữ là một vấn đề, bởi vì ông Brooke đã cảm thấy tinh thần trống rỗng khi có sự xuất hiện của họ, khó có thể ít phức tạp hơn sự quay vòng của một thể khối ở dạng không chính quy.

Vì vậy mà vấn đề này (vấn đề của hình khối, không phải của phụ nữ) rất nổi tiếng.

Ý tưởng của Sofia Kovaleskaya là như sau : trong trường hợp đã được giải quyết bởi Euler và Lagrange, các nghiệm có đặc tính khá đơn giản [4], cần tìm những trường hợp khác (dạng của khối, vị trí của điểm cố định), mà trong đó các nghiệm vẫn có những tính chất này.

Ý tưởng này sẽ có tác động sâu sắc và lâu dài bởi vì nó sẽ sinh một cái mà ngày nay được gọi là hệ đại số hoàn toàn khả tích, cái này sẽ không định nghĩa ở đây, chúng ta chỉ nói về các nhà toán học của thế kỷ 20, chắc chắc cả của thế kỷ 21...

Ý tưởng này đã làm cho Kovalevskaya tìm ra ví dụ thứ ba của trường hợp mà trong đó các nghiệm có tính chất đơn giản này mà từ đó bà giải được hệ --- cái mà tôi đã gọi là tính chất đơn giản không ngắn cản việc các nghiệm là "hàm hai biến", cái mà cho đến nay vẫn phức tạp hơn thế (và cũng sẽ không được định nghĩa)

Sofia Kovalevskaya

Bởi vì đây là một bức chân dung về nhà toán học nữ, có một vài lời về bản thân Sofia Kovalevskaya.

Đó là một phụ nữ trẻ quả cảm. Để rời nước Nga và để được học tập ở Heidelberg, và sau đó là ở Berlin với Weierstrass, bà đã không ngần ngại để trở thành một phụ nữ có chồng bằng việc ký kết một đám cưới trắng (nguyên văn : mariage blanc, 99 không hề biết từ này, nhưng tra trên wiki thì thấy có link này http://en.wikipedia.org/wiki/Mariage_blanc).

Bà bắt đầu làm việc vào những năm 1870-1880, một thời điểm mà các nhà Toán học đã trở thành những người chuyên nghiệp, được trả công như giáo viên đại học. Vì vậy bà đã có một cuộc sống nghề nghiệp khá giống chúng ta : bà đã chứng minh các định lý, giảng bài, bà rất năng động trong uỷ ban xét duyệt của một tạp chí toán học (Acta mathematica), bà đã đi xa rất nhiều để dự hội nghị cũng như gặp gỡ các nhà toán học khác, bà đã viết báo cáo về công việc của các nhà toán học, thư giới thiệu, bà đã tham dự vào các cuộc họp hội đồng, etc.

Tất cả những điều này cùng với những khó khăn mà chúng ta thấy khó hình dung ngày nay , cũng như trong một cộng đồng toán học (Đức, Pháp) trong thời của bà, trong đó, bà đã hoà nhập rất tốt.

Thêm nữa, ngoài việc là một nhà Toán học, bà còn là một người viết tiểu thuyết, một chiến sỹ.

PS: Đây là bản dịch bài viết của GS Michèle Audin của bạn 99 (mathscope.org), lấy ở http://images.math.cnrs.fr/Les-deux-idees-de-Sofia.html . Nhiều chỗ có thể hơi khó hiểu, có hai lý do là : 99 dịch không chuẩn, hai là do sự khác biệt văn hoá.

Định lí cuối cùng của Fermat - Phần 1

Định lý Fermat cuối cùng (Fermat’s Last Theorem, dưới đây viết tắt là FLT - người dịch) mãi tới gần đây vẫn là bài toán chưa giải được nổi tiếng nhất trong toán học. Vào giữa thế kỷ 17, Pierre de Fermat đã viết rằng không có giá trị n > 2 nào có thể thỏa mãn phương trình trong đó n là các số nguyên. Ông cam đoan rằng ông đã có một cách chứng minh đơn giản định lý này, nhưng tới nay người ta chưa tìm thấy tài liệu nào về điều đó. Kể từ lúc đó, vô số nhà toán học chuyên và không chuyên đã cố tìm một chứng minh hợp lệ (và nghi ngờ rằng liệu Fermat có thật có chứng minh đó hay không). Vào năm 1994, Andrew Wiles tại Princeton University tuyên bố rằng ông đã khám phá ra cách chứng minh trong khi nghiên cứu về một bài toán hình học tổng quát hơn.
Helen G. Grundman, giáo sư toán tại Byrn Mawr College, đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau: “Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh FLT đó. Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi. [Thật ra] chứng minh đó là công trình của nhiều người. Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông đã nghĩ là một cách chứng minh. Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng FLT.
“Chứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa đuợc biết tới vào thời Fermat. Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán. Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó. Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh FLT mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat. Chúng ta không có cách nào trả lời trừ phi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy.
Glenn H. Stevens ở khoa toán tại Boston University cho biết thêm: “Vâng, các nhà toán học bằng lòng rằng FLT đã được chứng minh. Cách chứng minh của Andrew Wiles theo ‘semistable modularity conjecture’ – phần mấu chốt của cách chứng minh của ông – đã được kiểm tra cẩn thận và thậm chí đơn giản hóa. Trước khi có chứng minh của Wiles, người ta đã biết FLT sẽ là một hệ quả của modularity conjecture, kết hợp nó với một định lý lớn khác theo Ken Ribet và dùng các ý tưởng mấu chốt từ Gerhard Frey và Jean-Pierre Serre.

(Còn tiếp)

Định lí cuối cùng của Fermat - Phần 2

“Tôi muốn hỏi câu hỏi thứ hai này bằng một cách khác. Nói cho cùng, làm sao chúng ta có thể may mắn tới mức tìm ra một cách chứng minh? Nhà bác học Đức Karl Gauss tổng kết thái độ của nhiều nhà toán học chuyên nghiệp trước-1985 khi vào năm 1816 ông đã viết: ‘Tôi thú nhận rằng FLT, như một định đề (proposition) cô lập, không thu hút tôi cho lắm, vì tôi có thể dễ dàng đưa ra vô số các định đề như vậy, mà chúng không thể đuợc chứng minh hay bị bác bỏ.’ Dù sao chúng ta cũng đã gặp may và xoay sở để cứu FLT khỏi cảnh cô lập của nó bằng cách liên hệ với vài nhánh quan trọng của toán học hiện đại, đặc biệt là các dạng theory of modular. Có thật là chỉ nhờ may mắn? Có bao nhiêu trong số ‘vô số địnhđề’ của Gauss cũng có thể được chuyển đổi đầy ma thuật và tạo khả năng khai thác những công cụ mạnh mẽ của toán học hiện đại? FLT chỉ mới là khởi đầu. Vẫn còn nhiều cuộc thám hiểm hấp dẫn phía trước chúng ta.

Và Fernando Q. Gouvêa, trưởng khoa toán và khoa học máy tính tại Colby College, cho thêm thông tin: “Chứng minh đầy đủ FLT bao gồm trong 2 bài báo, một bởi Andrew Wiles và một được viết chung bởi Wiles và Richard Taylor, tạo nên toàn bộ nội dung số tháng 5/1995 của tờ Annals of Mathematics (*), một tạp chí xuất bản tại Princeton University. Việc xuất bản tạp chí dĩ nhiên ngụ ý là những người xét duyệt đã công nhận rằng bài báo là đúng.

“Vào mùa hè 1995, đã có một hội nghị lớn tổ chức tại Boston University để đi sâu vào chi tiết của bài chứng minh. Các chuyên gia trong mỗi lãnh vực liên quan đã có bài phát biểu giải thích nền tảng và nội dung công trình của Wiles và Taylor. Sau khi khảo sát bài chứng minh quá kỹ lưỡng đến như vậy, cộng đồng toán học cảm thấy thoải mái khi công nhận rằng nó đúng.

“Câu hỏi thứ hai khó trả lời hơn nhiều. Dĩ nhiên, rất có thể nguyên nhân cần một thời gian dài để chứng minh định lý là chúng ta không đủ thông minh! Nhưng xem ra không phải vậy khi ta thấy biết bao nhiêu nhà toán học lỗi lạc đã suy nghĩ về nó qua nhiều thế kỷ. Vậy thì tại sao bài chứng minh lại khó như vậy?

“Thứ nhất FLT là một phát biểu rất tổng quát: ứng với không số mũ n>2 nào làm cho phương trình Fermat có lời giải. Dễ dàng hơn nhiều khi cố gắng giải bài toán ứng với một số mũ cụ thể. Thí dụ, trong một lá thơ, Ferma đã giải thích làm sao để chứng minh với n=4; Euler vào thế kỷ 18 đã có thể đưa ra cách chứng minh cho trường hợp n=3, và vân vân. Thực sự, ngay trước công trình của Wiles, các nhà toán học đã chỉ ra rằng không có lời giải cho định lý đối với các số lên tới n=4,000,000 hay cỡ đó. Xem ra đó là rất nhiều số, nhưng tất nhiên, nó chưa hề thậm chí làm xây xát bề mặt của điều đoan quyết nói về tất cả số mũ.

“Vấn đề khác là đoan quyết của Fermat luôn luôn có vẻ như, bên lề (**). Thật khó khăn khi nối kết FLT với các phần khác của toán học, điều đó có nghĩa là các ý tưởng toán học đầy sức mạnh có thể không nhất thiết áp dụng được. Sự thật là, nếu có ai nhìn vào lịch sử của định lý sẽ thấy rằng những bước tiến lớn nhất khi nghiên cứu hướng về một cách chứng minh xuất hiện khi vài liên hệ với các lãnh vực toán khác được tìm thấy. Thí dụ, công trình của nhà toán học Ba lan Ernst Eduard Kummers vào giữa thế kỷ 19 xuất hiện từ sự liên hệ FLT với các theory of cyclotomic fields. Và Wiles không phải là ngoại lệ: chứng minh của ông phát triển từ công trình của Frey, Serre và Ribet liên kết phát biểu của Fermat với theory of elliptic curves. Một khi mối liên hệ đã được thiết lập, và người ta biết rằng chứng minh được Modularity Conjecture cho các đường cong elliptic sẽ dẫn tới cách chứng minh FLT, là có lý do để hy vọng. Công trình của Wiles cho thấy niềm hy vọng đó đã được xác nhận.

Niên biểu sơ lược về quá trình chứng minh định lý Fermat cuối cùng (FLT):
- Tháng 5/1993, “crucial breakthrough”, Wiles khoe với phu nhân là đã giải được rồi.
- Sau đó (có lẽ khoảng tháng 6/1993), có một hội nghị tại Cambridge quê ông. Trong bài báo cáo “Elliptic Curves and Modular Forms,” Wiles lần đầu tiên công bố là ông đã giải được FLT.
- Tháng 7-8/1993, Nick Katz (đồng nghiệp) trao đổi email với Wiles về những điểm chưa hiểu rõ, trong đó có 1 sai lầm căn bản.
- Tháng 9/1993, Wiles nhận ra chỗ sai và cố gắng sửa. Sinh nhật phu nhân ngày 6/10, bà nói chỉ cần quà sinh nhật là một chứng minh đúng. Wiles cố hết sức nhưng không làm được.
- Tháng 11/1993, ông gởi email công bố là có trục trặc trong phần đó của chứng minh.
- Sau nhiều tháng thất bại, Wiles sắp chịu thua. Trong tuyệt vọng, ông yêu cầu giúp đỡ. Richard Taylor, sinh viên cũ, tới Princeton.
- Ba tháng đầu 1994, ông cùng Taylor tìm mọi cách sửa chữa vấn đề nhưng vô hiệu.
- Tháng 9/1994, trở ngược lại nghiên cứu một vấn đề căn bản mà chứng minh được dựa trên đó
- 19/9/1994 phát hiện cách sửa chữa chỗ trục trặc đơn giản và đẹp dựa trên một cố gắng chứng minh đã làm 3 năm trước. Sau khi coi tới coi lui, ông mừng rỡ nói với phu nhân là đã làm được, thoạt tiên bà không hiểu ông nói về chuyện gì.
- Tháng 5/1995 đăng lời giải trên Annals of Mathematics (Princeton University).
- Tháng 8/1995 hội thảo ở Boston University, giới toán học công nhận chứng minh là đúng.

Giải Bài Toán Fermat: Andrew Wiles- Phần 3

......tôi nói với nàng là tôi đã giải được FLT.
NOVA: Báo New York Times kêu lên “At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery,” nhưng họ không biết, và ông cũng chưa biết, đã có chỗ sai trong chứng minh của ông. Chỗ sai đó là gì?
AW: Đó là chỗ sai trong một phần lý luận quan trọng, nhưng nó tinh tế tới nỗi tôi đã hoàn toàn bỏ sót cho tới lúc đó. Lỗi sai rất trừu tượng khó có thể mô tả bằng cách diễn đạt thông thường. Ngay cả việc giải thích nó cho một nhà toán học cũng đòi hỏi người đó phải bỏ ra hai ba tháng nghiên cứu rất kỹ lưỡng phần đó trong bản thảo.
NOVA: Cuối cùng, sau một năm làm việc, và sau khi mời nhà toán học Richard Taylor ở Cambridge tới cùng làm việc với ông về chỗ sai, ông đã sửa chữa ổn thoả chứng minh. Mọi người muốn hỏi điều này: chứng minh của ông có giống như chứng minh của Fermat không?
AW: Không có chút khả năng nào. Fermat không bao giờ có thể có chứng minh này. Nó dài 150 trang. Nó là một chứng minh của thế kỷ 20. Nó không thể được làm thậm chí ở thế kỷ 19, chứ chưa nói là thế kỷ 17. Các kỹ thuật dùng ở đây đơn giản là không hề có ở thời Fermat.

NOVA: Vậy thì chứng minh nguyên thuỷ của Fermat vẫn còn đâu đó chưa tìm ra.

AW: Tôi không tin Fermat có cách chứng minh. Tôi nghĩ ông tự dối lòng khi nghĩ rắng ông có cách chứng minh. Nhưng điều làm cho bài toán này đặc biệt đối với dân không chuyên là có một khả năng rất nhỏ rằng thật sự có tồn tại một chứng minh đẹp thời thế kỷ 17.

NOVA: Như vậy một số nhà toán học sẽ tiếp tục tìm kiếm chứng minh nguyên thuỷ. Còn ông sẽ làm gì tiếp theo?

AW: Không có bài toán nào sẽ mang cùng ý nghĩa như vậy đối với tôi nữa. Fermat là niềm đam mê thời thơ ấu của tôi. Không gì thay thế được. Tôi sẽ thử các bài toán khác. Tôi chắc rằng một số bài sẽ rất khó và tôi sẽ lại có được cảm giác thành tựu, nhưng không gì sẽ có ý nghĩa như thế nữa. Không có bài toán nào khác có thể bám chặt lấy tôi như bài này. Có cảm giác u sầu. Ta đã mất điều gì đó đã ở bên ta quá lâu, và điều gì đó đã cuốn hút nhiều người vào toán học. Nhưng có lẽ điều đó luôn xảy ra với các bài toán, và ta chỉ phải tìm những bài mới để lôi cuốn sự chú ý của chúng ta. Người ta nói với tôi rằng tôi đã lấy mất bài toán của họ — tôi có gì khác để trả lại không? Tôi cảm thấy có trách nhiệm. Tôi hy vọng rằng khi nhìn thấy sự phấn khích của việc giải bài toán này sẽ làm cho các nhà toán học trẻ nhận ra rằng có rất nhiều và rất nhiều những bài khác trong toán học cũng sẽ đầy thách thức trong tương lai.

NOVA: Thách thức chính hiện nay là gì?

AW: Bài toán lớn nhất đối với các nhà toán học hiện nay có lẽ là Giả Thuyết Riemann (Riemann Hypothesis). Nhưng bài toán này không thể trình bày một cách đơn giản.

NOVA: Và giờ đây FLT đã được giải quyết, ông có suy nghĩ gì?

AW: Chắc chắn một điều tôi đã học được là chọn một bài toán dựa trên mức độ quan tâm của bạn rất quan trọng. Dù cho nó có vẻ khó xuyên thủng đến thế nào, nếu bạn không thử làm, thì bạn chẳng bao giờ làm được. Hãy luôn thử làm những bài toán có nhiều ý nghĩa nhất với bạn. Tôi đã có đặc ân hiếm hoi này để có thể theo đuổi trong đời tôi khi trưởng thành, cái đã là giấc mơ thời thơ ấu. Tôi biết rằng nó là một đặc ân hiếm hoi, nhưng nếu ai đó có thể thật sự đạt được điều gì đó trong cuộc đời trưởng thành mà có ý nghĩa đến thế, thì nó đáng làm hơn bất cứ điều gì tôi có thể tưởng tượng.

NOVA: Và bây giờ cuộc hành trình đã chấm dứt, chắc là có nỗi buồn nào đó?

AW: Có một cảm giác buồn buồn, nhưng cùng lúc đó có một cảm giác lớn lao về sự thành tựu. Cũng có cảm giác tự do. Tôi đã bị ám ảnh bởi bài toán này khiến tôi phải nghĩ về nó mọi lúc — sáng khi thức dậy, tối khi đi ngủ — và điều đó tiếp diễn trong 8 năm trời. Thật là một thời gian dài để suy nghĩ về chỉ một thứ. Cuộc phiêu lưu đó giờ đã hết. Tâm trí tôi bây giờ đuợc nghỉ ngơi.

Giải Bài Toán Fermat: Andrew Wiles- Phần 1 - Người dịch: Alligator

Andrew Wiles đã cống hiến phần lớn sự nghiệp của ông cho việc chứng minh định lý Fermat cuối cùng (Fermat’s Last Theorem - viết tắt là FLT), bài toán nổi tiếng nhất thế giới. Vào năm 1993, ông đã trở nên nổi tiếng khi công bố một cách chứng minh bài toán, nhưng câu chuyện chưa chấm dứt ở đó; một lỗi sai trong tính toán đã làm lung lay công trình cả đời của ông. Andrew Wiles đã nói chuyện với NOVA và kể lại cách ông đã xử lý chỗ sai lầm, và cuối cùng tiến tới để đạt được hoài bão của đời ông như thế nào.
NOVA: Nhiều khám phá khoa học vĩ đại là kết quả của sự ám ảnh, nhưng trong trường hợp của ông, nỗi ám ảnh đó đã bám lấy ông từ lúc ông còn là một đứa bé.
ANDREW WILES: Tôi lớn lên ở Cambridge, Anh quốc, và tình yêu toán học của tôi đã chớm từ những ngày đầu của thời thơ ấu. Tôi yêu thích giải toán ở trường. Tôi thường đem bài về nhà và tự nghĩ ra những đề bài mới. Nhưng bài toán hay nhất mà tôi đã từng tìm thấy, tôi tìm thấy trong thư viện công cộng trong vùng. Tôi lúc đó chỉ đang xem lướt qua khu vực để các sách toán và tôi tìm thấy một cuốn sách này, toàn bộ nói về một bài toán mà thôi — Định lý Fermat cuối cùng. Các nhà toán học đã không giải được bài toán này trong 300 năm. Nhìn qua, nó rất đơn giản, vậy mà tất cả các nhà toán học vĩ đại trong lịch sử đã không thể giải được. Đó là một bài toán, mà tôi, một đứa bé 10 tuổi, đã có thể hiểu và tôi đã biết ngay lúc đó rằng tôi không bao giờ bỏ qua được. Tôi phải giải nó.
NOVA: Fermat là ai và định lý cuối cùng của ông ta là gì?
AW: Fermat là một nhà toán học ở thế kỷ 17, người đã viết ghi chú bên lề cuốn sách của ông đưa ra một mệnh đề cụ thể và khẳng định rằng đã chứng minh được. Mệnh đề của ông nói về một phương trình liên quan rất gần với phương trình Pythagoras. Phương trình Pythagoras cho ta:
NOVA: Ông đã bắng đầu tìm kiếm cách chứng minh như thế nào?
AW: Trong thời niên thiếu, tôi cố gắng giải quyết bài toán theo cách mà tôi nghĩ Fermat có lẽ đã làm. Tôi ước đoán là ông ta không biết quá nhiều toán hơn cậu thiếu niên là tôi. Sau đó tôi vào đại học, tôi nhận ra rằng có nhiều người đã nghĩ về bài toán trong suốt thế kỷ 18 và 19 và vì vậy tôi học các phương pháp đó. Nhưng tôi vẫn chẳng đi tới đâu cả. Rồi khi tôi trở thành nhà nghiên cứu, tôi quyết định là tôi nên gác bài toán đó qua một bên. Không phải là tôi quên nó — bài toán vẫn luôn còn đó — nhưng tôi nhận ra là những kỹ thuật sẵn có để giải quyết bài toán đã có từ trong vòng 130 năm nay. Không có vẻ gì là những kỹ thuật đó tiếp cận được cốt lõi của bài toán. Vấn đề khi giải FLT là ở chỗ bạn có thể tốn nhiều năm trời không đi tới đâu. Giải bất cứ bài toán nào cũng tốt, miễn là nó sinh ra những vấn đề toán lý thú kèm theo — cho dù bạn không giải được nội trong ngày đi nữa. Một bài toán được đánh giá là hay dựa trên các vấn đề toán sinh ra hơn là dựa trên bản thân bài toán.
NOVA: Có vẻ như FLT đã được coi là không thể giải được, và các nhà toán học không thể mạo hiểm hao phí để rồi không đi tới đâu. Nhưng rồi vào năm 1986 mọi thứ đã thay đổi. Một bước đột phá bởi Ken Ribet ở University of California at Berkeley đã liên kết FLT với một bài toán chưa giải được khác, đó là giả thuyết Taniyama-Shimura (Taniyama-Shimura conjecture). Ông có nhớ đã phản ứng thế nào trước tin này không?
AW: Đó là một buổi tối cuối mùa hè 1986 khi tôi đang nhấm nháp trà đá (iced tea) ở nhà một người bạn. Trong khi nói chuyện, một cách không chủ ý, người bạn cho tôi hay là Ken Ribet đã chứng minh mối liên hệ giữa Taniyama-Shimura và FLT. Tôi sửng sốt. Ngay lúc đó tôi biết rằng hành trình của đời tôi đã chuyển hướng bởi vì điều đó có nghĩa là để chứng minh FLT, tôi chỉ cần chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura. Điều đó có nghĩa là giấc mơ thời thơ ấu của tôi nay đã là thứ đáng để lao vào. Tôi chỉ biết rằng tôi không thể để điều đó trôi qua.

Giải Bài Toán Fermat: Andrew Wiles- Phần 2 - Người dịch: Alligator

NOVA: Vậy là, bởi vì Taniyama-Shimura là một bài toán hiện đại, điều này có nghĩa là giải nó, cũng có nghĩa là cố gắng chứng minh FLT, là việc đáng làm.
AW: Đúng vậy. Chưa ai có đường hướng để tiếp cận Taniyama-Shimura nhưng ít nhất nó cũng thuộc toán học dòng chính. Tôi có thể thử và chứng minh các kết quả, mà, cho dù chúng không giải quyết được toàn bộ, cũng có giá trị toán học. Vậy là sự lãng mạn của FLT, điều đeo đẳng cả đời tôi, nay đã kết hợp với một bài toán được chấp nhận một cách chuyên nghiệp.
NOVA: Tại thời điểm đó ông đã quyết định làm việc biệt lập hoàn toàn. Ông đã không nói với bất cứ ai là ông đang tiến hành tìm chứng minh FLT. Tại sao vậy?
AW: Tôi nhận ra rằng bất cứ điều gì liên quan tới FLT tạo ra quá nhiều sự chú ý. Bạn không thể thật sự chuyên tâm hàng năm trời trừ khi bạn có sự tập trung trọn vẹn, quá nhiều khán giả sẽ phá hủy điều đó.
NOVA: Nhưng chừng như ông đã nói cho vợ ông biết ông đang làm gì?
AW: Vợ tôi chỉ quen tôi khi tôi đã đang giải FLT. Tôi nói cho nàng hay trong tuần trăng mật, chỉ vài ngày sau hôn lễ. Vợ tôi đã từng nghe nói tới FLT, nhưng vào lúc đó nàng không biết gì về ý nghĩa lãng mạn của FLT đối với các nhà toán học, rằng nó đã là cái gai trong da thịt chúng tôi nhiều năm đến thế.
NOVA: Hàng ngày, ông đã xây dựng cách chứng minh của ông như thế nào?
AW: Tôi thường đến với nghiên cứu của tôi, và bắt đầu cố gắng tìm kiếm các quy luật. Tôi thử làm các tính toán giải thích một vài khía cạnh toán học nhỏ. Tôi cố thử ép bài toán vào những hiểu biết trừu tượng rộng hơn sẵn có trong vài phần của toán học có thể làm cho bài toán đang làm rõ ràng sáng sủa hơn. Đôi khi phải đi tìm trong sách coi thử người ta đã làm như thế nào. Đôi khi là câu hỏi để sửa đổi các thứ đi một chút, làm thêm vài phép toán. Và có lúc tôi nhận ra rằng không có điều gì đã làm trước đây có chút ích lợi nào cả. Vậy rồi tôi phải tìm cái gì hoàn toàn mới; những cái đó tới từ đâu quả là điều bí ẩn. Tôi đem bài toán theo trong đầu hầu như luôn luôn. Tôi có thể nghĩ tới nó đầu tiên khi thức dậy buổi sáng, tôi có thể nghĩ về nó suốt ngày, và tôi có thể đang nghĩ về nó khi đi ngủ. Nếu không bị phân tâm, cùng một thứ có thể xoay tới xoay lui trong trí của tôi. Cách duy nhất để thư giãn là khi tôi cùng với các con. Bọn trẻ đơn giản là chẳng hề quan tâm tới Fermat. Chúng chỉ muốn nghe kể chuyện và sẽ chẳng để bạn làm gì khác.
NOVA: Thường thường người ta làm việc theo nhóm và được hỗ trợ bởi những người trong nhóm. Ông đã làm gì khi bị bế tắc?
AW: Khi tôi bị kẹt và không biết phải làm gì tiếp theo, tôi sẽ ra ngoài đi dạo. Tôi thường đi dạo xuống gần hồ. Dạo chơi có một tác dụng rất tốt giúp bạn ở trạng thái thư giãn, nhưng cùng lúc đó cho phép tiềm thức hoạt động. Và thường thường nếu bạn có cái gì đó loé lên trong đầu thì lại không có cái gì để viết hay bàn viết. Tôi luôn có sẵn viết chì và giấy và, nếu tôi thật sự có một ý tưởng, tôi sẽ ngồi xuống một băng ghế và viết vội ra.
NOVA: Vậy là trong 7 năm trời ông đã theo đuổi chứng minh này. Chắc là có những khi thoái chí xen lẫn với những lúc thành công.
AW: Có lẽ tôi có thể mô tả tốt nhất kinh nghiệm nghiên cứu toán học của tôi theo hình ảnh của một chuyến hành trình qua một lâu đài tối tăm chưa được thám hiểm. Bạn bước vào căn phòng đầu tiên của tòa nhà và nó tối mịt mùng. Bạn dò dẫm xung quanh vấp đụng vào bàn ghế, nhưng dần dần bạn biết đuợc từng món tủ giường bàn ghế nằm đâu. Cuối cùng, sau 6 tháng hay cỡ đó, bạn tìm ra cái công-tắc đèn, bạn bật lên, và bỗng nhiên mọi thứ đều sáng rõ. Bạn có thể thấy chính xác bạn đang ở chỗ nào. Thế rồi bạn đi vô căn phòng kế tiếp và mất 6 tháng nữa trong bóng tối. Như vậy mỗi một bước đột phá, mặc dù đôi khi chỉ trong thoáng chốc, đôi khi mất một hai ngày, chúng là những đỉnh điểm của — và không thể tồn tại nếu không có — thời gian nhiều tháng trời mò mẫm loanh quanh trong bóng tối dẫn tới những đột phá đó.
NOVA: Và trong suốt 7 năm, ông đã không bao giờ có thể chắc chắn việc tìm được một chứng minh trọn vẹn.
AW: Tôi thật sự tin rằng tôi đã đi đúng hướng, nhưng điều đó không có nghĩa là tôi nhất thiết có thể đạt được mục đích. Vẫn có thể là các phương pháp cần thiết để tiến hành bước tiếp theo đơn giản là ngoài tầm toán học hiện thời. Cũng có thể các phương pháp tôi cần để hoàn tất chứng minh vẫn chưa được phát minh trong vòng trăm năm nữa. Như vậy cho dù tôi đi đúng hướng chăng nữa, tôi vẫn có thể sinh lầm thế kỷ.
NOVA: Vậy rồi cuối cùng vào năm 1993, ông đã làm được bước đột phá quyết định.
AW: Phải, đó là một buổi sáng cuối tháng 5. Vợ tôi, Nada, ở ngoài với bọn trẻ và tôi ngồi nơi bàn làm việc suy nghĩ về bước cuối cùng của chứng minh. Tôi lúc đó đang ngó lướt qua bài nghiên cứu của tôi và có một câu làm tôi chú ý. Câu đó nhắc tới một công trình vào thế kỷ 19, và tôi bỗng nhiên nhận ra là tôi có thể dùng điều đó để hoàn tất chứng minh. Tôi tiếp tục cho tới chiều và tôi quên đi xuống ăn trưa, và vào khoảng 3 hay 4 giờ chiều, tôi đã thật sự tin tưởng là điều đó giải quyết được vấn đề còn lại. Lúc đó vào cữ trà chiều và tôi xuống nhà và Nada rất ngạc nhiên vì tôi xuống trễ vậy. Thế rồi ...

(to be continued)

Giải thưởng Abel năm 2011

Giải thưởng Abel năm 2011 đã thuộc về giáo sư (GS) John Milnor, hiện công tác tại Viện Khoa học Toán học, ĐH Stony Brook, NewYork (Hoa Kỳ) cho “những khám phá tiên phong trong tô pô, hình học và đại số”. Giải thưởng này có trị giá gần 1 triệu USD.

Ngày 24/5 sắp tới sẽ có một buổi lễ trang trọng dưới sự chứng kiến của nhiều quan khách và hàng trăm sinh viên, chính thức nhà vua Harald sẽ chính thức trao giải cho GS John Milnor.

Giải Abel là một giải thưởng toán học quốc tế của Viện Hàn lâm Khoa học và Văn chương Na Uy thành lập vào năm 2002, lấy tên của nhà toán học thiên tài bạc mệnh của Na Uy, Niels Henrik Abel.

Giải Abel, giải Wolf hay giải Fields đều được xem là “Nobel toán học”. Xét về danh tiếng thì giải Abel và Wolf không thua kém gì Fields, mỗi giải đều có một ưu thế nổi trội riêng và tất cả đều là vinh dự lớn của các nhà toán học trên thế giới.

Cho đến hiện tại thì chỉ có ba nhà toán học được cả ba danh hiệu “Nobel toán học”, trong đó có John Milnor. Khi biết tin, GS Milnor đã nói:

“Giải Abel là một vinh dự lớn nhất mà một nhà toán học có thể đạt được, tôi rất vui vì được nhận phần thưởng này”. Ông còn cười hóm hỉnh: “Tôi cũng hơi bất ngờ về giải thưởng này và ngạc nhiên vì một cú điện thoại lúc 6 giờ sáng”.
Những đóng góp của GS John Milnor
Trong khoảng 60 năm làm khoa học, GS Milnor đã làm nên những điểm nhấn quan trọng trong toán học hiện đại.

Rất nhiều khái niệm, kết quả, giả thiết mang tên ông. Trong các tài liệu toán, ta có thể tìm thấy “các hình cầu exotic Milnor, phân thớ Milnor, số Milnor” và nhiều định lý của Milnor. Những công trình đầy ý nghĩa của Milnor đã đưa ông vượt xa hơn cả những kết quả của chính mình.

Ông đã có những ý tưởng rất táo bạo và khám phá rất cơ bản để hình thành nên diện mạo to lớn của toán học vào nửa cuối thế kỉ XX.

Những công trình của ông thể hiện các đặc điểm của một nhà toán học vĩ đại với “những góc nhìn sâu sắc, những ý tưởng sáng chói, những đột phá ấn tượng với một vẻ đẹp rực rỡ” – trích lời Hội đồng xét giải Abel.

Ngoài việc chứng minh những định lý ấn tượng của mình, ông còn xây dựng những vấn đề rất cơ bản thuộc các chuyên ngành khác nhau như tô pô vi phân, tô pô đại số, K – lý thuyết, lý thuyết nhóm, lý thuyết trò chơi, lý thuyết kì dị, hệ động lực.

Công trình đặc sắc nhất đã đưa đến giải thưởng Fields năm 1962 và giờ đây là giải Abel 2011 cho Milnor chính là việc ông đã chứng minh rằng: có nhiều cấu trúc khả vi khác nhau cùng tồn tại trên mặt cầu 7- chiều. Để làm điều này, ông đã đưa ra một lớp mặt cầu kì lạ như tên gọi của nó, đó là các mặt cầu “exotic”. Nhiều nhà toán học đã không thể hiểu nổi tại sao ông lại nghĩ ra được những mặt cầu kì lạ này.

Bài toán này còn liên quan mật thiết đến giả thuyết Poincaré, được Perelman kết thúc chứng minh vào 2003. Thành công vĩ đại này của ông được công bố vào năm 1956 trên Annals of Mathematics (một trong những tạp chí toán học uy tín nhất), khi đó, ông mới 25 tuổi. Công trình này mở ra một hướng nghiên cứu lớn cho một chuyên ngành non trẻ vào thời điểm ấy, đó là tô-pô vi phân.

GS Stephen Smale (giải thưởng Fields năm 1966) nói về thành tựu này: “Đối với tôi, những khám phá của Milnor về các mặt cầu exotic thật là quan trọng để thiết lập cơ sở của tô pô học. Nó giúp ta tiến gần hơn đến sự hiểu biết về vai trò của những cấu trúc khác nhau của lĩnh vực.

Điều này có một vai trò rất lớn trong những công trình của tôi về chứng minh giả thuyết Poincaré cho số chiều lớn hơn 4”.

Giờ đây, ở tuổi cổ lai hy, ông vẫn còn nghiên cứu và viết sách. “Ông là một nguồn kích thích trí tuệ cho rất rất nhiều các nhà toán học” – GS Gowers nói.

Milnor cũng là một nhà sư phạm tuyệt vời vì là tác giả của nhiều quyển sách có ảnh hưởng to lớn và được coi là kinh điển hay mẫu mực trong các sách chuyên ngành của toán học.

Chẳng hạn, cuốn “Lý thuyết Morse” của ông được coi là một quyển sách quan trọng nhất về môn học này trong hơn 40 năm từ khi ra đời. Quyển “Tô pô từ quan điểm vi phân” được nhiều độc giả đánh giá là “một cuốn sách toán hay nhất từng được viết”, hay quyển “Các điểm kì dị của các siêu mặt phức” đã được rất nhiều nhà toán học trích dẫn.
Các giải thưởng GS Milnor đã từng nhận
Sinh ngày 20/02/1931 tại Orange, New Jersey, Hoa Kỳ, Milnor từng học ở Trường ĐH Princeton và nhận bằng cử nhân năm 1951. Sau khi tốt nghiệp, ông được giữ lại trường nghiên cứu và giảng dạy tại khoa toán ĐH Princeton.

Năm 1954, ông nhận học vị tiến sỹ cũng tại đại học danh tiếng này.

GS Milnor đã từng nhận rất nhiều giải thưởng trong sự nghiệp khoa học của mình: đó là giải thưởng Fields năm 1962 khi mới 31 tuổi. Gần đây là giải Leroy P. Steel 2011 được trao cho những thành tựu trọn đời của Hội Toán học Mỹ.

Ngoài ra, ông đã từng nhận hai giải Steel khác nhau của Hội Toán học Mỹ: Mathematical Exposition (cho những tác phẩm toán học 2004) và Seminal Contribution to Research (xây dựng mở đầu cho nghiên cứu 1982).

Trước đó, năm 1989, Milnor đã được trao giải Wolf (được coi là danh giá chỉ sau giải Fields).

GS Milnor đã từng nhận Huy chương khoa học quốc gia Hoa Kỳ và là viện sĩ của các viện lớn như Viện Hàn lâm khoa học Nga (1994) và Viện Khoa học, nghệ thuật và văn chương châu Âu.

Cho đến hiện tại thì chỉ có ba nhà toán học được cả ba danh hiệu “Nobel toán học” đó là Jean- Pierre Serre và John G. Thompson và John Milnor.

Hiệu trưởng Trường ĐH Stony Brook, ông Samuel Stanley đã rất hồ hởi về thông tin GS Milnor được giải Abel: “Thật là tuyệt vời vì điều này khẳng định năng lực của các nhà toán học ở Stony Brook, vì từ đó sẽ sản sinh những sản phẩm học thuật ở đẳng cấp cao. Chúng tôi tự hào về GS Milnor và những đồng nghiệp của ông”.

Nguyên lý Dirichlet và các bài toán áp dụng

Xin giới thiệu một bài viết về nguyên lý Dirichlet, nguyên lý nay thì chắc các bạn học toán đã biết, nhưng những bài viết chủ đề này có lẽ luôn luôn hot. Nguyên lý Dirichlet và các bài toán áp dụng. các bạn tải về tham khảo nhé.
“Download”